K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
3 tháng 10 2019

\(a+b+c=\frac{abc}{a}+\frac{abc}{b}+\frac{1}{c}\Leftrightarrow a+b+c=bc+ac+\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow c\left(a+b\right)-\left(a+b\right)+\frac{1}{c}-c=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(c-1\right)-\frac{c^2-1}{c}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(c-1\right)-\frac{\left(c+1\right)\left(c-1\right)}{c}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-1\right)\left(a+b-\frac{c+1}{c}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-1\right)\left(a+b-\frac{c+abc}{c}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-1\right)\left(a+b-1-ab\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-1\right)\left[a-1-b\left(a-1\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-1\right)\left(a-1\right)\left(1-b\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\c=1\end{matrix}\right.\)

12 tháng 4 2020

1) Bài này có 2 cách giải

Cách 1:

để ý rằng \(\hept{\begin{cases}1-x^2=\left(1-x\right)\left(1+x\right)=\left(y+z\right)\left(2x+y+z\right)\\x+yz=x\left(x+y+z\right)+yz=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\end{cases}}\)

ta có: \(\frac{1-x^2}{x+yz}=\frac{a\left(b+c\right)}{bc}=\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\)

trong đó: \(a=y+z;b=z+x;c=x+y\). Tương tự, ta cũng có:

\(\hept{\begin{cases}\frac{1-y^2}{y+zx}=\frac{b}{c}+\frac{b}{a}\\\frac{1-z^2}{z+xy}=\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\end{cases}}\)

Do đó sử dụng BĐT AM-GM ta có:

\(VT_{\left(1\right)}=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge6\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c và x=y=z=\(\frac{1}{3}\)

Cách 2:

Sử dụng BĐT AM-GM  dạng \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\), ta có:

\(x+yz\le x+\frac{\left(y+z\right)^2}{4}=x+\frac{\left(1-x\right)^2}{4}=\frac{\left(1+x\right)^2}{4}\)

Do đó: \(\frac{1-x^2}{x+yz}\ge\frac{4\left(1-x^2\right)}{\left(1+x\right)^2}=\frac{4\left(1-x\right)}{1+x}=4\left(\frac{2}{1+x}-1\right)\)

tương tự có:\(\hept{\begin{cases}\frac{1-y^2}{x+yz}\ge4\left(\frac{2}{1+y}-1\right)\\\frac{1-z^2}{z+xy}\ge4\left(\frac{2}{1+z}-1\right)\end{cases}}\)

Cộng các đánh giá trên và sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu, ta được

\(VT_{\left(1\right)}\ge8\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\right)-12\)

               \(\ge8\cdot\frac{9}{3+x+y+z}+12=6\)

12 tháng 10 2019

\(a-b=\sqrt{1-b^2}-\sqrt{1-a^2}\Leftrightarrow a+\sqrt{1+a^2}=b+\sqrt{1+b^2}\)

Bình phương cả 2 vế: \(2a\sqrt{1+a^2}=2b\sqrt{1+b^2}\)

Tiếp tục bình phương: \(a^2+a^4=b^2+b^4\)

\(\Leftrightarrow a^2-b^2+\left(b^2-a^2\right)\left(a^2+b^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)\left(1-a^2-b^2\right)=0\)

Đến đây ta có: \(\orbr{\begin{cases}a=b\\a^2+b^2=1\end{cases}}\)

Nếu a=b sẽ có vô số a,b TMDK nên đề bài nên có thêm điều kiện a,b phân biệt

14 tháng 1 2020

\(VT-VP=\Sigma_{cyc}\frac{2a+b+c}{a^2b\left(a+b+c\right)}\left(a-b\right)^2\ge0\)

hay \(\frac{a}{c^2}+\frac{1}{a}\ge\frac{2}{c}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a}{c^2}\ge\frac{2}{c}-\frac{1}{a}\)\(\Rightarrow\)\(VT\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)

"=" \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)

17 tháng 11 2019

\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}\)

\(=\frac{a^4}{ab+ac}+\frac{b^4}{cb+ba}+\frac{c^4}{ac+bc}\)

\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

Mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Rightarrowđpcm\)

17 tháng 11 2019

\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{a^3}{b+c}+\frac{\left(b+c\right)^2}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{b+c}.\frac{a^3}{b+c}.\frac{\left(b+c\right)^2}{8}}=\frac{3a^2}{2}\)

Rồi tương tự các kiểu:v

Suy ra \(2VT\ge\frac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2}{8}\)

\(\ge\frac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\left(a^2+b^2+c^2\right)\) (chú ý \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\))

Không phải dùng tới Cauchy-Schwarz:D

11 tháng 1 2020

1) Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\le b\le c\Rightarrow3=a+b+c\le3c\Rightarrow1\le c\le2\Rightarrow\left(c-1\right)\left(c-2\right)\le0\)

\(LHS=a^2+b^2+c^2=\left(a^2+2ab+b^2\right)+c^2-2ab\)

\(\le\left(a+b\right)^2+c^2=\left(3-c\right)^2+c^2\)

\(=2\left(c-1\right)\left(c-2\right)+5\le5\) 

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;2\right)\) và các hoán vị.

2) Đề sai chỗ biểu thức M! Sao lại là M = x2 + y2 + x2 (chỗ mình in đậm)

3) Đề cho x, y, z không âm mà sao lại bắt chứng minh với các biến a, b? Sửa đề lại hết đi rồi mình làm nốt!

11 tháng 1 2020

Mình xin lỗi vì viết sai nhé, phải là:

1) Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 3. Chứng minh a2 + b2 + c2 ≤ 5
2) Cho -3 ≤ x, y, z ≤ 1, x + y + z = -1. Tính giá trị nhỏ nhất của M = x2 + y2 +z2
3) Cho các số dương a, b có tổng bằng 1. CMR: