K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
ML
8 tháng 8 2015
Một số bất đẳng thức thường được dùng (chứng minh rất đơn giản)
Với a, b > 0, ta có:
\(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Dấu "=" của các bất đẳng thức trên đều xảy ra khi a = b.
Phân phối số hạng hợp lí để áp dụng Côsi
\(1\text{) }P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)
\(\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1/2.
\(2\text{) }P\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge4\)
\(3\text{) }P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{4ab}+4ab+\frac{1}{4ab}\)
\(\ge\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{4ab}.4ab}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\ge1+2+1=4\)
ND
0
L
1
TN
31 tháng 7 2017
Ta có: \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4\Rightarrow a+b\ge2\)
Và \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\ge2\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a^3}{b+1}=a^3-\frac{a^3b}{b+1}\ge a^3-\frac{a^3b}{2\sqrt{b}}=a^3-\frac{a^3\sqrt{b}}{2}\)
Tương tự cho ta cũng có:\(\frac{b^3}{a+1}\ge b^3-\frac{b^3\sqrt{a}}{2}\)
\(\Rightarrow Q\ge a^3+b^3-\frac{a^3\sqrt{b}+b^3\sqrt{a}}{2}\ge2-\frac{a^3\sqrt{b}+b^3\sqrt{a}}{2}\left(1\right)\)
TIếp tục xài AM-GM: \(\sqrt{b}\le\frac{b+1}{2}\Rightarrow a^3\sqrt{b}=\frac{a^3b+a^3}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3\sqrt{b}+b^3\sqrt{a}}{2}\le\frac{\frac{a^3b+a^3}{2}+\frac{ab^3+b^3}{2}}{2}=\frac{a^3b+ab^3+a^3+b^3}{4}\)
\(\Rightarrow2-\frac{a^3\sqrt{b}+b^3\sqrt{a}}{2}\ge2-\frac{a^3b+ab^3+a^3+b^3}{4}\)
Cần chứng minh \(2-\frac{a^3b+ab^3+a^3+b^3}{4}\ge1\)\(\Leftrightarrow\frac{a^3b+ab^3+a^3+b^3}{4}\ge1\)
\(\Leftrightarrow a^3b+ab^3+a^3+b^3\ge4\Leftrightarrow a^3b+ab^3\ge2\) vì \(a^3+b^3\ge2\)
\(\Leftrightarrow\left(ab\right)^2\left(a+b\right)\ge2\) đúng vì ab=1 và \(a+b\ge2\)
\(\Rightarrow Q_{Min}=2-\frac{a^3\sqrt{b}+b^3\sqrt{a}}{2}\ge2-1=1\)
Khi a=b=1
TT
4
VT
4 tháng 2 2018
từ giả thiết, ta có \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}\le1\)
Mà \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b}=a+b\Rightarrow a+b\le1\)
Mà từ BĐT cô-si, ta luôn có \(\left(a+b\right)^3\ge4ab\left(a+b\right)\ge4\left(a^3+b^3\right)\left(a+b\right)\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)^3}{4}\ge\left(a^3+b^3\right)\left(a+b\right)\)
Mà áp dụng BĐT Bu-nhi-a , ta có \(\left(a^3+b^3\right)\left(a+b\right)\ge\left(a^2+b^2\right)^2\)
=>\(\frac{\left(a+b\right)^3}{4}\ge\left(a^2+b^2\right)^2\Rightarrow\frac{1}{4}\ge\left(a^2+b^2\right)^2\Rightarrow a^2+b^2\le\frac{1}{2}\)
Mà \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{4}{2+a^2+b^2}=\frac{4}{2+\frac{1}{2}}=\frac{8}{5}\)
Dấu = xảy ra ,=> a=b=1/2
^_^
4 tháng 2 2018
\(a^3+b^3\le ab\Leftrightarrow ab\left(a+b\right)\le ab\Leftrightarrow a+b\le1.\).Ta có: \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{4}.\)
\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{4}{2+a^2+b^2}=\frac{4}{2+\left(a+b\right)^2-2ab}\ge\frac{4}{2+1-\frac{1}{2}}\ge\frac{8}{5}.\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=1/2.
2 tháng 12 2021
Câu 1
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\\ \Leftrightarrow N=ab+\dfrac{1}{16ab}+\dfrac{15}{16ab}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{16}}+\dfrac{15}{4\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{4}=\dfrac{17}{4}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
Câu 2:
\(P=a+\dfrac{1}{a}+2b+\dfrac{8}{b}+3c+\dfrac{27}{c}+4\left(a+b+c\right)\\ P\ge2\sqrt{1}+2\sqrt{16}+2\sqrt{81}+4\cdot6=2+8+18+4=32\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\\c=3\end{matrix}\right.\)
Câu 3: Cho a,b,c là các số thuộc đoạn [ -1;2 ] thõa mãn \(a^2+b^2+c^2=6.\) CMR : \(a+b+c>0\) - Hoc24
TT
0
Lời giải:
\(P=\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{1}{ab}=\frac{1}{(a+b)^3-3ab(a+b)}+\frac{1}{ab}=\frac{1}{1-3ab}+\frac{1}{ab}\)
\(=\frac{1}{1-3ab}+\frac{3}{3ab}\geq \frac{(1+\sqrt{3})^2}{1-3ab+3ab}=(1+\sqrt{3})^2\) theo BĐT Cauchy-Schwarz
Vậy \(P_{\min}=(1+\sqrt{3})^2\)
pro2k7trần đưc thái: dấu "=" xảy ra khi \(\frac{1}{1-3x}=\frac{1}{\sqrt{3}x}\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{3-\sqrt{3}}{6}\Leftrightarrow ab=\frac{3-\sqrt{3}}{6}\)
Kết hợp $a+b=1$ thì theo Viet đảo em có:
\((x,y)=(\frac{3-\sqrt{6\sqrt{3}-9}}{6}; \frac{3+\sqrt{6\sqrt{3}-9}}{6})\) và hoán vị.