Question

[•长ąŦ๏Ʀเ•]

cho a,b>0 hỏi

a,\(\frac{1}{1+a}\)+\(\frac{1}{1+b}\)=\(\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)khi nào

b,\(\frac{1}{1+a}\)+\(\frac{1}{1+b}\)>\(\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)khi nào

c,\(\frac{1}{1+a}\)+\(\frac{1}{1+b}\)>hoặc=\(\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)khi nào

d,\(\frac{1}{1+a}\)+\(\frac{1}{1+b}\)<hoặc =\(\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)khi nào

Answer 1

[Hoàng Như Quỳnh]

\(a,\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{4}{2+a+b}\)( BĐT cô-si dạng engel)

\(\frac{4}{2+a+b}\le\frac{4}{2+2\sqrt{ab}}=\frac{2}{1+\sqrt{ab}}=VP\)(bđt tương đương)

vậy cả hai bđt dấu "=" xảy ra đồng thời

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+a}=\frac{1}{1+b}\\a=b=1\end{cases}}\)

vậy \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}=\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)khi \(a=b=1\)

\(b,\)\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}>\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)khi và chỉ khi bđt cô -si không xảy ra dấu bằng

và bđt tương đương xảy ra dấu bằng

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}>\frac{4}{2+a+b}\\\frac{4}{2+a+b}=\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}\frac{2+a+b}{1+a+b+ab}>\frac{4}{2+a+b}\\4+4\sqrt{ab}=4+2a+2b\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}4+a^2+b^2+4a+4b+2ab>4+4a+4a+4ab\\2\sqrt{ab}=a+b\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2>2ab\\a^2+b^2=0\end{cases}}\)

\(0>2ab\)

\(ab< 0\)

rồi chia ra từng TH 

ra đc \(TH1:\hept{\begin{cases}a< 0\\b>0\end{cases}}\)

\(TH2:\hept{\begin{cases}a>0\\b< 0\end{cases}}\)

\(c,\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)khi và chỉ khi 

bđt cô- si dạng engel lớn hơn hoặc bằng còn bđt tương đương thì dấu bằng xảy ra

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{4}{2+a+b}\\\frac{4}{2+a+b}=\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab\\a^2+b^2=0\end{cases}}\)

\(< =>0\ge2ab\)

vì đề bài cho \(a,b>0\)lên dấu bằng không xảy ra

vậy không có giá trị a,b nào thỏa mãn \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)

câu d lập luận như các câu trên cậu làm nốt nha