Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo bài có : \(\sqrt{ab}=\frac{a+b}{a-b}\) (1) nên suy ra : \(\frac{a+b}{a-b}\ge0\)
Mà a+b > 0 do a,b là số thực dương nên suy ra : a-b > 0 hay a > b
Có : \(\sqrt{ab}=\frac{a+b}{a-b}\)
\(\Leftrightarrow\)ab = \(\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}\)=\(\frac{\left(a-b\right)^2+4ab}{\left(a-b\right)^2}\)= \(1+\frac{4ab}{\left(a-b\right)^2}\)
Ta có : P = ab + \(\frac{a-b}{\sqrt{ab}}\)= \(1+\frac{4ab}{\left(a-b\right)^2}\) + \(\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}\)+ \(\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}\) \(\ge\)4\(\sqrt[4]{1.\frac{4ab}{\left(a-b\right)^2}.\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}.\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}}\)= 4\(\sqrt[4]{1}\)= 4 ( theo BĐT Cô -si)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}=1\\\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}=\frac{4ab}{\left(a-b\right)^2}\\\frac{4ab}{\left(a-b\right)^2}=1\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow a=b.\left(\sqrt{2}+1\right)^2\)
Thay a = b.\(\left(\sqrt{2}+1\right)^2\)vào (1) rồi tính ra ta được :\(\hept{\begin{cases}a=2+\sqrt{2}\\b=2-\sqrt{2}\end{cases}}\left(thỏamãn\right)\)
Vậy P min = 4 đạt được khi \(\hept{\begin{cases}a=2+\sqrt{2}\\b=2-\sqrt{2}\end{cases}}\)
1) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và bất đẳng thức Schwarz:
\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{4}{a+\dfrac{a+b}{2}}=\dfrac{8}{3a+b}\ge8\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = \(\dfrac{1}{4}\).
2.
\(4=a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\sqrt{2}\)
Đồng thời \(\left(a+b\right)^2\ge a^2+b^2\Rightarrow a+b\ge2\)
\(M\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b+2\right)}=\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}\) (với \(x=a+b\Rightarrow2\le x\le2\sqrt{2}\) )
\(M\le\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1\)
\(M\le\dfrac{\left(2\sqrt{2}-x\right)\left(x+4-2\sqrt{2}\right)}{4\left(x+2\right)}+\sqrt{2}-1\le\sqrt{2}-1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\sqrt{2}\) hay \(a=b=\sqrt{2}\)
3. Chia 2 vế giả thiết cho \(x^2y^2\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
\(\Rightarrow0\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le4\)
\(A=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\le16\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
P = ab + \(\frac{a-b}{\sqrt{ab}}\)
Thay a - b = \(\frac{a+b}{\sqrt{ab}}\)vào P
=> P = ab + \(\frac{a+b}{\sqrt{ab}\sqrt{ab}}\)
= ab + \(\frac{a+b}{ab}\)>= 2\(\sqrt{a+b}\)
Làm tiếp cứ đi vòng vòng mà không có lối ra.
Lời giải:
Hiển nhiên $a-b>0$.
Ta có:
\(P=\sqrt{ab}.\sqrt{ab}+\frac{a-b}{\sqrt{ab}}=\sqrt{ab}.\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{\sqrt{ab}}\geq 2\sqrt{a+b}\) theo BĐT AM-GM.
Mặt khác:
Từ ĐKĐB suy ra \(ab(a-b)^2=(a+b)^2\)
\(\Leftrightarrow ab[(a+b)^2-4ab]=(a+b)^2\)
Đặt $a+b=x; ab=y$ với $x,y>0; x^2\geq 4y$ thì:
\(y(x^2-4y)=x^2\Leftrightarrow x^2(y-1)=4y^2\)
Hiển nhiên $y>1$
$\Rightarrow x^2=\frac{4y^2}{y-1}=\frac{4(y^2-1)}{y-1}+\frac{4}{y-1}$
$=4(y+1)+\frac{4}{y-1}=4(y-1)+\frac{4}{y-1}+8$
$\geq 2\sqrt{4(y-1).\frac{4}{y-1}}+8=16$ (AM-GM)
$\Rightarrow x\geq 4$ hay $a+b\geq 4$
Do đó: $P\geq 2\sqrt{a+b}\geq 2\sqrt{4}=4$
Vậy $P_{\min}=4$
Giá trị này đạt tại $(a,b)=(2+\sqrt{2}, 2-\sqrt{2})$
- Theo BĐT Cauchy ta có:
\(\sqrt{a.1}\le\dfrac{a+1}{2}\)
\(\sqrt{b.1}\le\dfrac{b+1}{2}\)
\(\sqrt{c.1}\le\dfrac{c+1}{2}\)
\(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\)
\(\sqrt{bc}\le\dfrac{b+c}{2}\)
\(\sqrt{ca}\le\dfrac{c+a}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le\dfrac{3\left(a+b+c\right)+3}{2}=\dfrac{3.3+3}{2}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Mà ta có: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=6\)
\(\Rightarrow a=b=c=1\)
\(M=\dfrac{a^{30}+b^4+c^{1975}}{a^{30}+b^4+c^{2023}}=\dfrac{1^{30}+1^4+1^{1975}}{1^{30}+1^4+1^{2023}}=1\)