Question

[Thái Thùy Linh]

Cho A(1,2,-3), B(3,0,1) , denta :\(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+2t\\y=2-t\\z=t\end{matrix}\right.\)

(P): x+y+z-3=0

a) Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và chứa đường thẳng denta

b) Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và song song với đường thẳng denta và vuông góc với mặt phẳng (P)

c) Lập phương trình đường thẳng d nằm trên mặt phẳng (P) cắt và vuông góc với denta

d) Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cắt denta tại M, cắt mặt phẳng (P) tại N sao cho M là trung điểm AN

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

a.

Chọn \(C\left(1;1;1\right)\) là 1 điểm thuộc denta

\(\Rightarrow\overrightarrow{AC}=\left(0;-1;4\right)\)

Đường thẳng denta có \(\overrightarrow{u_{\Delta}}=\left(2;-1;1\right)\) là 1 vtcp

\(\Rightarrow\left[\overrightarrow{AC};\overrightarrow{u_{\Delta}}\right]=\left(3;8;2\right)\)

\(\Rightarrow\left(Q\right)\) nhận \(\left(3;8;2\right)\) là 1 vtpt

Phương trình (Q):

\(3\left(x-1\right)+8\left(y-2\right)+2\left(y+3\right)=0\)

b.

Mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left(1;1;1\right)\) là 1 vtpt

Ta có: \(\left[\overrightarrow{u_{\Delta}};\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\right]=\left(-2;-1;3\right)\)

Mặt phẳng (Q) nhận (2;1;-3) là 1 vtpt

Phương trình (Q):

\(2\left(x-1\right)+1\left(y-2\right)-3\left(z+3\right)=0\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

c.

Gọi M là giao điểm denta và (P) thì tọa độ M thỏa:

\(-1+2t+2-t+t-3=0\Rightarrow t=1\)

\(\Rightarrow M\left(1;1;1\right)\)

\(\left[\overrightarrow{n_{\left(P\right)}};\overrightarrow{u_{\Delta}}\right]=\left(2;1;-3\right)\)

Đường thẳng d nhận (2;1;-3) là 1 vtcp

Phương trình tham số d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=1+t\\z=1-3t\end{matrix}\right.\)

d.

Do M thuộc denta nên tọa độ có dạng: \(M\left(-1+2t;2-t;t\right)\)

M là trung điểm AN \(\Rightarrow N\left(-3+4t;2-2t;2t+3\right)\)

N thuộc (P) nên: \(-3+4t+2-2t+2t+3-3=0\Rightarrow t=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{MN}=\left(-2+2t;-t;t+3\right)=\left(-\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{4};\dfrac{13}{4}\right)=-\dfrac{1}{4}\left(6;1;13\right)\)

Phương trình d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+6t\\y=2+t\\z=-3+13t\end{matrix}\right.\)