K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

25 tháng 4 2023

Áp dụng BĐT Svácxơ, ta có:

\(A=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{2}{2}=1\)

\(MinA=1\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3}\)

 

13 tháng 12 2021

\(P=\sum\dfrac{1}{x+y+1}\ge\dfrac{9}{2\left(x+y+z\right)+3}=\dfrac{9}{2.1+3}=\dfrac{9}{5}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

13 tháng 12 2021

Lm dùm mik bài dưới lun vs

AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 8 2021

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}\)

\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\geq \frac{1}{3}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2\geq \frac{1}{3}.(\frac{9}{x+y+z})^2=\frac{27}{(x+y+z)^2}\)

\(\Rightarrow P\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}+\frac{27}{(x+y+z)^2}\)

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(\frac{(x+y+z)^2}{3}+\frac{1}{3(x+y+z)^2}\geq \frac{2}{3}\)

\(\frac{80}{3(x+y+z)^2}\geq \frac{80}{3}\)

\(\Rightarrow P\geq \frac{2}{3}+\frac{80}{3}=\frac{82}{3}\)

Vậy $P_{\min}=\frac{82}{3}$ khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

26 tháng 4 2023

\(P=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{2023}{xy+yz+zx}\)

\(=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{1}{xy+yz+zx}+\dfrac{1}{xy+yz+zx}+\dfrac{2021}{xy+yz+zx}\)

\(\ge\dfrac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\dfrac{2021}{\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)\(=9+\dfrac{2021}{\dfrac{1}{3}}=6072\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

Ta có:

+) \(xy+yz+zx\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\left(\text{Cô si}\right)\)

+) \(\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{1}{xy+yz+zx}+\dfrac{1}{xy+yz+zx}\)

\(\ge\dfrac{9}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}=\dfrac{9}{\left(x+y+z\right)^2}\left(\text{Svácxơ}\right)\)

 

27 tháng 1 2022

Ta có: \(\sqrt{\left(x^2+\dfrac{1}{y^2}\right)\left(1+81\right)}\ge\sqrt{\left(x+\dfrac{9}{y}\right)^2}\)

=> \(\sqrt{x^2+\dfrac{1}{y^2}}\ge\dfrac{x+\dfrac{9}{y}}{\sqrt{82}}\)

Tương tự => \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{y^2+\dfrac{1}{z^2}}\ge\dfrac{y+\dfrac{9}{z}}{\sqrt{82}}\\\sqrt{z^2+\dfrac{1}{x^2}}\ge\dfrac{z+\dfrac{9}{x}}{\sqrt{82}}\end{matrix}\right.\)

=> \(P\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)+9\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}{\sqrt{82}}\)

Mà x + y + z = 1

      \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}=9\)

=> \(P\ge\sqrt{82}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 9 2023

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$A\geq \frac{9}{x+2+y+2+z+2}=\frac{9}{x+y+z+6}$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(x^2+y^2+z^2)(1+1+1)\geq (x+y+z)^2$

$\Rightarrow 9\geq (x+y+z)^2\Rightarrow x+y+z\leq 3$

$\Rightarrow A\geq \frac{9}{x+y+z+6}\geq \frac{9}{3+6}=1$
Vậy $A_{\min}=1$. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

5 tháng 9 2017

điều kiện có thiếu ko vậy

5 tháng 9 2017

à mk vt nhầm để mk sửa

AH
Akai Haruma
Giáo viên
24 tháng 3 2023

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:

$\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=x$

$\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\geq y$

$\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\geq z$

Cộng theo vế các BĐT trên và thu gọn ta được:

$P\geq \frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1$ 

Vậy $P_{\min}=1$ khi $x=y=z=\frac{2}{3}$

24 tháng 3 2023

cảm ơn chị rất nhiều =)))))))) 

NV
15 tháng 4 2021

\(A=\dfrac{2x^2}{2x+2yz}+\dfrac{2y^2}{2y+2zx}+\dfrac{2z^2}{2z+2xy}+\dfrac{9}{8\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)

\(A\ge\dfrac{2x^2}{x^2+1+y^2+z^2}+\dfrac{2y^2}{y^2+1+z^2+x^2}+\dfrac{2z^2}{z^2+1+x^2+y^2}+\dfrac{9}{8\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)

\(A\ge\dfrac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{x^2+y^2+z^2+1}+\dfrac{9}{8\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)

Đặt \(x^2+y^2+z^2=a>0\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{2a}{a+1}+\dfrac{9}{8a}=\dfrac{2a}{a+1}+\dfrac{9}{8a}-\dfrac{15}{8}+\dfrac{15}{8}\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{\left(a-3\right)^2}{8a\left(a+1\right)}+\dfrac{15}{8}\ge\dfrac{15}{8}\)

\(A_{min}=\dfrac{15}{8}\) khi \(a=3\) hay \(x=y=z=1\)

15 tháng 4 2021

Chỉ em phương pháp múa cột trong tính nguyên hàm với ạ