Question

[Nguyễn Thành Huy]

cho a, b, c>0 và a+b+c=6

Tìm GTNN của P=1/căn(a+b)(b+c)+1/căn(b+c)(c+a)+1/căn(c+a)(a+b)

Answer 1

[zZz Cool Kid_new zZz]

Áp dụng BĐT AM - GM dạng ngược ta dễ có:

\(\frac{1}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\ge\frac{2}{a+b+b+c}=\frac{2}{\left(a+2b+c\right)}\)

Tương tự:

\(\frac{1}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\ge\frac{2}{\left(b+2c+a\right)}\frac{1}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}\ge\frac{2}{2\left(c+2a+b\right)}\)

Khi đó:

\(P\ge2\left(\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{b+2c+a}+\frac{1}{c+2a+b}\right)\)

\(\ge\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{4}\)

Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=2

Answer 2

[tth_new]

Gáy cach nua.

Chứng minh: \(\Sigma\frac{1}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\ge\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)

Theo Holder, cần c.m

\(\frac{3^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)+\left(b+c\right)\left(c+a\right)+\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\ge\frac{81}{4\left(a+b+c\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Done