![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng bđt cosi schwart ta có:
`VT>=(a+b+c)^2/(a+b+c+sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca})`
Dễ thấy `sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca}<a+b+c`
`=>VT>=(a+b+c)^2/(2(a+b+c))=(a+b+c)/2=3`
Dấu "=" `<=>a=b=c=1.`
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Chứng minh BĐT vế trái:
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:
\(VT=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge a^2+b^2+c^2\)
Tiếp theo, chứng minh BĐT vế phải:\(a^2+b^2+c^2\ge3\)
Từ giả thiết suy ra: \(6=a+b+c+ab+bc+ca\le a+b+c+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\Rightarrow a+b+c\ge3\)
Ta có: \(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge3\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đề khắm vậy -_- a + b = 3 - c thì viết luôn thành a + b + c = 3 cho rồi .... bày đặt
Áp dụng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\left(x;y;z>0\right)\)
\(VT=a^3+b^3+c^3+2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge a^3+b^3+c^3+\frac{18}{a+b+c}\)
\(=a^3+b^3+c^3+6\)
Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số ta đc
\(a^3+1+1\ge3\sqrt[3]{a^3.1.1}=3a\)
\(b^3+1+1\ge3b\)
\(c^3+1+1\ge3c\)
Cộng từng vế vào ta được
\(VT\ge a^3+b^3+c^3+6\ge3\left(a+b+c\right)=\left(a+b+c\right)^2\)
Lại có : \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)(Phá ngoặc + chuyển vế -> tổng bình phương)
\(\Rightarrow VT\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)(Đpcm)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1
Vậy ....
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\)
\(=\dfrac{a^3+ab^2-ab^2}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3+bc^2-bc^2}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3+ca^2-ca^2}{c^2+a^2}\)
\(=\dfrac{a\left(a^2+b^2\right)}{a^2+b^2}+\dfrac{b\left(b^2+c^2\right)}{b^2+c^2}+\dfrac{c\left(c^2+a^2\right)}{c^2+a^2}-\left(\dfrac{ab^2}{a^2+b^2}+\dfrac{bc^2}{b^2+c^2}+\dfrac{ca^2}{c^2+a^2}\right)\)\(=a+b+c-\left(\dfrac{ab^2}{a^2+b^2}+\dfrac{bc^2}{b^2+c^2}+\dfrac{ca^2}{c^2+a^2}\right)\)\(\ge6-\left(\dfrac{ab^2}{2ab}+\dfrac{bc^2}{2bc}+\dfrac{ca^2}{2ca}\right)=6-\dfrac{a+b+c}{2}=6-\dfrac{6}{2}=3\) (dpcm)Dau = xay ra khi a=b=c=2![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\frac{a+1}{b^2+1}=\frac{\left(a+1\right)\left(b^2+1\right)-b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\)
\(\ge a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}=a+1-\frac{ab+a}{2}\)
Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta được:
\(LHS\ge a+b+c+3-\frac{ab+bc+ca+3}{2}\ge6-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+3}{2}=3=RHS\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(------------------------\)
Từ bất đẳng thức cơ bản sau: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) thì ta rút ra một bất đăng thức mới có dạng như sau:
\(3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2=9\)
nên \(ab+bc+ca\le3\) \(\left(i\right)\)
\(---------------------\)
Ta có:
\(\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\ge a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}=a+1-\frac{b+ab}{2}\left(1\right)\)
Thiết lập tương tự các mối quan hệ như trên theo sơ đồ hoán vị \(b\rightarrow c\rightarrow a\) như sau:
\(\hept{\begin{cases}\frac{b+1}{c^2+1}\ge b+1-\frac{c+bc}{2}\left(2\right)\\\frac{c+1}{a^2+1}\ge c+1-\frac{a+ca}{2}\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) với lưu ý đã chứng minh ở \(\left(i\right)\) suy ra \(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge\frac{a+b+c}{2}+3-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\frac{3}{2}+3-\frac{3}{2}=3\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
Bài này có gì khó đâu nhỉ?
Ta có: \(2a^3+1=a^3+a^3+1\ge3\sqrt[3]{a^6}=3a^2\)
Tương tự:\(2b^3+1\ge3b^2;2c^3+1\ge3c^2\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên: \(2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\)
Suy ra \(a^3+b^3+c^3\ge3^{\left(dpcm\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1