Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Gọi phân số cần tìm có dạng là \(\dfrac{a}{b}\left(b\ne0\right)\)
Theo đề, ta có: \(\dfrac{1}{3}< \dfrac{a}{b}< \dfrac{1}{2}\)
=>\(0,\left(3\right)< \dfrac{a}{b}< 0,5\)
=>\(\dfrac{a}{b}=0,4;\dfrac{a}{b}=0,42\)
=>\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{5};\dfrac{a}{b}=\dfrac{21}{25}\)
Vậy: Hai phân số cần tìm là \(\dfrac{2}{5};\dfrac{21}{25}\)
b: a/b<1
=>a<b
=>\(a\cdot c< b\cdot c\)
=>\(a\cdot c+ab< b\cdot c+ab\)
=>\(a\left(c+b\right)< b\left(a+c\right)\)
=>\(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+c}\)
+\(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{a+c}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\) cộng lại ta được
=>\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}>1\)
+\(\frac{a}{b+c}< \frac{a+a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{a+c}< \frac{b+b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}< \frac{c+c}{a+b+c}\) cộng lại
=> \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< 2\)
Lời giải:
Với $a,b,c>0$ ta có:
$M> \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+a}+\frac{c}{c+a+b}=\frac{a+b+c}{a+b+c}{a+b+c}=1(*)$
Mặt khác:
Xét hiệu: $\frac{a}{a+b}-\frac{a+c}{a+b+c}=\frac{-bc}{(a+b)(a+b+c)}<0$ với mọi $a,b,c>0$
$\Rightarrow \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}$
Tương tự ta cũng có: $\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}; \frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}$
Cộng lại ta được: $M< \frac{a+c+b+a+c+b}{a+b+c}=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow 1< M< 2$ nên $M$ không là số nguyên.
Giải:
\(a,b\) là các số dương \(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}>0\)
Không giảm tính tổng quát
Ta giả sử \(a\ge b\Leftrightarrow a=b+m\left(m\ge0\right)\)
Ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{b+m}{b}+\dfrac{b}{b+m}\)
\(=1+\dfrac{m}{b}+\dfrac{b}{b+m}\ge1+\dfrac{m}{b+m}+\dfrac{b}{b+m}\)
\(=1+\dfrac{m+b}{b+m}=1+1=2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=0\\a=b\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\) (Đpcm)
Nhận xét:
Trong một BĐT có chứa chữ, nếu các chữ \(a\) và \(b\) có vai trò như nhau, ta có thể thay \(a\) bởi \(b\); \(b\) bởi \(a\), do đó ta có thể sắp thú tự tùy ý cho nên trong cách giải trên ta đã giả sử \(a\ge b\) mà không sợ mất tính tổng quát.
Lời giải:
Vì $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}$ nên:
$\left(\frac{a}{b}\right)^3=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}$
Hay $\left(\frac{a}{b}\right)^3=\frac{a}{d}$
Ta có đpcm.
\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^3=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{a}{b}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{c}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{d}\)
Lời giải:
Ta có:
\(\frac{a}{b+c}=\frac{2a}{2(b+c)}=\frac{2a}{(b+c)+(b+c)}< \frac{2a}{a+b+c}\) (do mỗi số nhỏ hơn tổng hai số kia thì \(a< b+c\))
Hoàn toàn tương tự:
\(\left\{\begin{matrix} \frac{b}{c+a}< \frac{2b}{a+b+c}\\ \frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế các BĐT vừa thu được ta có:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=2\)
Ta có đpcm.