Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a, ta có \(\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right)^2\le3\left(2x+2y+2z\right)=6\)
=> A\(\le\sqrt{6}\)
dấu = xảy ra <=> x=y=z=1/3
Áp dụng Bđt \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
Ta có:
\(A^2\le6\left(x+y+z\right)=6\)
\(\Leftrightarrow A\le\sqrt{6}\)(Đpcm)
Ta có : \(A=\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\)
\(\Rightarrow A^2=\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right)^2\)
Theo BĐT Bu - nhi - a - cốp - xki ta có :
\(A^2=\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[2\left(x+y+z\right)\right]=3.2=6\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\le\sqrt{6}\) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
Với x,y,z>0, áp dụng BĐT Bunhiacopxki
\(\left[\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\right]\left(1+1+1\right)\ge\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)2.3\ge\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow6\ge\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\le\sqrt{6}\) (đpcm)
Dấu "=" khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho các cặp số không âm, ta có:
\(\sqrt{\frac{2}{3}\left(x+y\right)}\le\frac{\frac{2}{3}+x+y}{2}=\frac{2+3x+3y}{6}\)
\(\sqrt{\frac{2}{3}\left(y+z\right)}\le\frac{\frac{2}{3}+y+z}{2}=\frac{2+3y+3z}{6}\)
\(\sqrt{\frac{2}{3}\left(z+x\right)}\le\frac{\frac{2}{3}+z+x}{2}=\frac{2+3z+3x}{6}\)
Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên \(\sqrt{\frac{2}{3}}\text{∑}\sqrt{x+y}\le2\)
\(\Rightarrow\text{∑}\sqrt{x+y}\le\sqrt{6}\)
Vậy \(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\le\sqrt{6}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
ÁP dụng BĐT Bu nhi a cốp xki với ba số ta đc :
\(\left(1.\text{ }\sqrt{x+y}+1\sqrt{y+z}+1.\sqrt{x+z}\right)^2\le\left(1+1+1\right)\left(\left(\sqrt{x+y}\right)^2+\left(\sqrt{y+z}\right)^2+\left(\sqrt{z+x}\right)^2\right)\)
\(\le3\left(x+y+y+z+x+z\right)=3.2.\left(x+y+z\right)=6\)
=> \(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{x+z}\le\sqrt{6}\) ( ĐPCM)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có : \(A^2=\left(1.\sqrt{x+y}+1.\sqrt{y+z}+1.\sqrt{x+z}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x+y+y+z+z+x\right)\)
\(\Rightarrow A^2\le3.2\left(x+y+z\right)=6\Rightarrow A\le\sqrt{6}\)(Vì A>0)
c) theo bunhia ta có:
\(VT^2\le3\left(x+y+y+z+z+x\right)=6\)
\(\Rightarrow VT\le\sqrt{6}\)
bạn sử dụng bất đẳng thức : 3 ( a\(^2\)+ b\(^2\)+ c\(^2\)) \(\le\)( a + b + c )\(^2\)
rồi thay : a = x + y ; b = y + z ; c = z + x là được
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT^2=\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{x+z}\right)^2\)
\(\le\left(1+1+1\right)\cdot2\cdot\left(x+y+z\right)\)
\(=3\cdot2\cdot1=6=VP^2\)
Xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)