LD
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
LT
2
AN
18 tháng 12 2019
Đề đúng: \(P=\frac{x^2+12}{x+y}+y\)
\(P=\frac{x^2}{x+y}+\frac{1}{4}\left(x+y\right)-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}y+\frac{12}{x+y}\)
\(\ge x-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}y+\frac{12}{x+y}\)(Áp dụng BĐT Cô-si)
\(=\frac{3}{4}\left(x+y\right)+\frac{12}{x+y}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{3}{4}.12}=6\)(Áp dụng BĐT Cô-si 1 lần nữa)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x^2}{x+y}=\frac{1}{4}\left(x+y\right)\\\frac{3}{4}\left(x+y\right)=\frac{12}{\left(x+y\right)}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x+y=4\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=2\)
Vậy MinP=6 khi và chỉ khi x=y=2
15 tháng 12 2019
Nguyễn Việt LâmNguyễn Lê Phước ThịnhVũ Minh TuấnBăng Băng 2k6
5 tháng 5 2020
Đặt S=\(\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+2xy+y^2}{xy}=\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{xy}+2\)
Áp dụng BĐT Cosi ta có: \(x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow xy< \frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)
Do đó \(S\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{4\left(x^2+y^2\right)}{\left(x+y\right)^2}+2\ge2\sqrt{\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}\cdot\frac{4\left(x^2+y^2\right)}{\left(x+y\right)^2}}+2=6\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y
Vậy MinS=6 đạt được khi x=y
5 tháng 5 2020
Ta có:
\(\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}\)
= \(\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}\)
\(\ge\left(x+y\right)^2.\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{4xy}{2xy}=6\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y
Vậy min \(\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}\)= 6 đạt tại x = y.
30 tháng 5 2018
\(M=\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{xy}\)
\(=\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{4xy}+\frac{3}{4}.\frac{x^2+y^2}{xy}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{xy}{x^2+y^2}.\frac{x^2+y^2}{4xy}}+\frac{3}{4}.\frac{2xy}{xy}\)
\(\Rightarrow M\ge1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y>0\)
LV
1 tháng 7 2017
AM-GM thôi :))
\(M=1+\frac{2xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{xy}+2=3+\frac{2xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{2xy}+\frac{x^2+y^2}{2xy}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{2xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{2xy}\ge2\sqrt{\frac{2xy}{x^2+y^2}.\frac{x^2+y^2}{2xy}}=2\)
\(\frac{x^2+y^2}{2xy}\ge\frac{2xy}{2xy}=1\)
\(\Rightarrow VT\ge3+2+1=6\)
Dấu = xảy ra khi x=y
22 tháng 3 2017
\(M=x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+4\)
\(M=\left(1-2xy\right)+\dfrac{1-2xy}{\left(xy\right)^2}+4=\dfrac{1}{\left(xy\right)^2}-\dfrac{2}{xy}-2xy+5\\ \)đặt 1/xy= t \(\left(x+y\right)=1\Rightarrow xy\le\dfrac{1}{4}\Rightarrow t\ge4\)
\(M=t^2-2t-\dfrac{2}{t}+5\)
khi t > 1 hiển nhiên M luôn tăng khi t tăng => \(Mmin=M\left(4\right)=4.4-2.4-\dfrac{2}{4}+5=\dfrac{25}{2}\)
Đẳng thức khi t=4 => xy=1/4 => x=y=1/2
12 tháng 3 2021
Ta có:
\(M=\frac{2x+y}{xy}+\frac{3}{2x+y}=\frac{2x+y}{2}+\frac{3}{2x+y}\)
\(=\left(\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}+\frac{3}{2x+y}\right)+\frac{5}{8}.\frac{2x+y}{2}\)
Có: \(\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}+\frac{3}{2x+y}\ge2\sqrt{\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}.\frac{3}{2x+y}}=\frac{3}{2}\)
Dấu '=' xảy ra <=> \(\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}=\frac{3}{2x+y}\)
Có: \(\frac{5}{8}.\frac{2x+y}{2}\ge\frac{5}{8}\sqrt{2xy}=\frac{5}{4}\)
Dấu '=' xảy ra <=> 2x=y và xy=2
Do đó \(M\ge\frac{3}{2}+\frac{5}{4}=\frac{11}{4}\)
Dấu '=' xảy ra <=> x=1 và y=2
Vậy GTNN của M là 11/4 khi x=1 và y=2
T
20 tháng 2 2019
Lời giải
Dư đoán xảy ra cực trị tại \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Ta biến đổi P như sau: \(P=\left(2x+\frac{1}{x}\right)+\left(2y+\frac{1}{y}\right)-\left(x+y\right)\)
\(\ge2\sqrt{2x.\frac{1}{x}}+2\sqrt{2y.\frac{1}{y}}-\left(x+y\right)\)\(=4\sqrt{2}-\left(x+y\right)\)
\(=4\sqrt{2}-\sqrt{2}\left(\sqrt{x^2.\frac{1}{2}}+\sqrt{y^2.\frac{1}{2}}\right)\)
\(\ge4\sqrt{2}-\sqrt{2}\left(\frac{x^2+y^2+1}{2}\right)=4\sqrt{2}-1\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)
Vậy ...
Sửa đề : \(P=\frac{x^2+12}{x+y}+y\)
\(P=\frac{x^2}{x+y}+\frac{1}{4}\left(x+y\right)-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}y+\frac{12}{x+y}\)
\(\ge x-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}y+\frac{12}{x+y}\)( Áp dụng BĐT Cô - si )
\(=\frac{3}{4}\left(x+y\right)+\frac{12}{x+y}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{3}{4}.12}=6\) ( Áp dụng BĐT Cô - si 1 lần nữa )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{x+y}=\frac{1}{4}\left(x+y\right)\\\frac{3}{4}\left(x+y\right)=\frac{12}{\left(x+y\right)}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x+y=4\end{cases}}}\)
Vậy Min P = 6 khi x = y =2