K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
4 tháng 10 2021

\(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}=\dfrac{3}{abc}\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{3}{ab}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)-\dfrac{3}{ab}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)+c^3=\dfrac{3}{abc}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^3+\dfrac{1}{c^3}-\dfrac{3}{ab}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)-\dfrac{3}{abc}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2-\dfrac{1}{c}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)+\dfrac{1}{c^2}\right)-\dfrac{3}{ab}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}-\dfrac{1}{ab}-\dfrac{1}{bc}-\dfrac{1}{ca}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b=c\\\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\end{matrix}\right.\)

Đề bài thiếu, cần thêm dữ liệu "a;b;c phân biệt"

Khi đó \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=a^2+b^2+c^2\)

21 tháng 7 2018

Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2-ab+b^2\ge ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

BĐT đầu đúng => \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)đúng. Dấu "=" xảy ra <=> a=b

Áp dụng vào bài toán: \(a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b\right)+abc=ab\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)

Tương tự: \(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)

Cộng 3 cái trên lại: \(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)\(=\frac{c+a+b}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}.\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c.

21 tháng 7 2018

một cửa hàng có 1 bao đường nặng 42kg. Ngày thứ nhất bán 2/7 bao đường. Ngày thứ hai bán 3/5 số đường còn lại. Hỏi sau hai ngày bán cửa hàng còn lai bao nhiêu kg đường

giải hộ mk nha

23 tháng 3 2016

Ừ thì sai đề vô căn cứ đây!

Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức phụ với  \(a,b>0\), và với chú ý rằng nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức khi  \(a>b\) và  \(ab>0\)

Ta có:

\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)  \(\Leftrightarrow\)  \(a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)  \(\Leftrightarrow\)  \(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)  \(\left(1\right)\)

Hoàn toàn tương tự:

\(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}\)  \(\left(2\right)\)  và  \(\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)  \(\left(3\right)\) 

Cộng từng vế \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right)\)  và  ​\(\left(3\right)\), ta được:

\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)

Dấu   \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(a=b=c\)

23 tháng 3 2016

bạn xem lại dấu BĐT ?

bạn thử thế a=1 c=2 b=3 vào là bik ngay đề sai

2 tháng 9 2018

ta có: (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2

=> 2.(ab+ac+bc) = 0

ab + ac + bc = 0

=> 1/a + 1/b + 1/c = 0

Lại có: \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}-\frac{3}{abc}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right).\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}-\frac{1}{ab}-\frac{1}{ac}-\frac{1}{bc}\right).\)

                                                                \(=0.\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}-\frac{1}{ab}-\frac{1}{ac}-\frac{1}{bc}\right)=0\)

=> 1/a3 + 1/b3 + 1/c3  -3/abc = 0

=> 1/a3 + 1/b3 + 1/c3 = 3/abc

17 tháng 12 2023

Ta có \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{b^3c^3}\left(b+c\right)}=\dfrac{b^2c^2}{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}\)

Tương tự \(\Rightarrow VT=\dfrac{b^2c^2}{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}+\dfrac{c^2a^2}{\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}}+\dfrac{a^2b^2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\)

\(\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)}\) (BĐT B.C.S)

\(=\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(\dfrac{ab+bc+ca}{abc}\right)}\)

\(=\dfrac{ab+bc+ca}{2}\) (do \(abc=1\))

\(\ge\dfrac{3\sqrt[3]{abbcca}}{2}\)

\(=\dfrac{3\left(\sqrt[3]{abc}\right)^2}{2}=\dfrac{3}{2}\) (do \(abc=1\))

ĐTXR \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

7 tháng 4 2021

a) Điều phải chứng minh tương đương với:

\(a^3+b^3-a^2b-b^2a\ge0\\ \Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\left(luon.dung\right)\)

Dấu = xảy ra khi a=b

b) Áp dụng bất đẳng thức ở phần a ta có:

\(\dfrac{1}{a^3+b^3+1}\le\dfrac{1}{a^2b+b^2a+abc}=\dfrac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\\ =\dfrac{abc}{ab\left(a+b+c\right)}=\dfrac{c}{a+b+c}\left(do.abc=1\right)\)

Tương tự : \(\dfrac{1}{b^3+c^3+1}\le\dfrac{a}{a+b+c};\dfrac{1}{c^3+a^3+1}\le\dfrac{b}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

Dấu = xảy ra  <=> a=b=c=1