Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét các tổng \(S_1=a_1\), \(S_2=a_1+a_2\),..., \(S_{10}=a_1+a_2+...+a_{10}\).
Trường hợp có tổng nào trong 10 tổng trên chia hết cho \(10\)ta có đpcm.
Trường hợp không có tổng nào trong 10 tổng trên chia hết cho \(10\), khi đó số dư của các tổng trên cho \(10\)sẽ có 9 giá trị từ \(1\)đến \(9\).
Khi đó sẽ có ít nhất 2 trong 10 tổng trên có cùng số dư khi chia cho \(10\).
Khi đó hiệu của 2 tổng đó sẽ là 1 số chia hết cho \(10\), đó là 1 số hoặc tổng 1 số các số liên tiếp nhau trong dãy.
Ta có đpcm.
giả sử tất cả các số Ak (k=1,...100) đều >=2 thì
tổng tất cả 1/Ak<=100*(1/2)=100/2 <101/2 vậy thì có it nhất 1 số At <2 hay At=1
vậy thì tổng 1/Ak-1/At=101/2-1=99/2
xảy ra 2 trường hợp:
a) có thêm 1 số nào đó =1 nữa tức là ta có 2 số =1 (dpcm)
b) không có thêm số nào đó =1nữa :
như vậy tổng cuả 99 phân số =99/2 mà do mẫu số đều phải >=2
suy ra tất cả các mẫu số đều phải =2 suy ra (dpcm)
Giả sử 100 số đó đôi một khác nhau
Không mất tính tổng quát giả sử \(0< a_1< a_2< a_3< ...< a_{100}\)
Vậy \(a_1\ge1;a_2\ge2;....;a_{100}\ge100\)suy ra \(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{100}}\le1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{100}}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}\)(99 phân số \(\frac{1}{2}\))
\(\Rightarrow\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{100}}< \frac{1}{2}.\left(2+99\right)=\frac{1}{2}.101=\frac{101}{2}\)trái với giả thiết.
Vì vậy điều giả sử sai, ta có điều phải chứng minh
Giả sử trong 100 số đó không có số nào bằng nhau a1 > a2>a3>.....a100
Mà a1,a2,a3,...,a100 thuộc Z
\(\Rightarrow\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}\le1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}=\frac{101}{2}\)(vôlý)
Vậy có ít nhất 2 số bằng nhau trong dãy số trên
