Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)
\(a\text{) }\)Áp dụng: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) (a, b > 0). Dấu "=" xảy ra khi a = b.
\(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{2.\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\)
\(=6\left[\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{27}{8}\left(a+b\right)+\frac{27}{8}\left(a+b\right)\right]-\frac{81}{2}\left(a+b\right)\)
\(\ge6.3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+b\right)^2}.\frac{27}{8}\left(a+b\right).\frac{27}{8}\left(a+b\right)}-\frac{81}{2}\left(a+b\right)\)
\(=\frac{81}{2}-\frac{81}{2}\left(a+b\right)\)
Tương tự: \(\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{bc}\ge\frac{81}{2}-\frac{81}{2}\left(b+c\right)\)
\(\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{1}{ca}\ge\frac{81}{2}-\frac{81}{2}\left(c+a\right)\)
Cộng theo vế ta được
\(A\ge3.\frac{81}{2}-81\left(a+b+c\right)=3.\frac{81}{2}-81=\frac{81}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}.\)
Vậy GTNN của A là \(\frac{81}{2}.\)
Lời giải:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$
$\Rightarrow ab+bc+ac=0$
Đặt $ab=x, bc=y, ac=z$ thì $x+y+z=0$
Có:
$M=\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^2}$
$=\frac{b^3c^3+a^3c^3+a^3b^3}{(abc)^2}$
$=\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}=\frac{(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3}{xyz}$
$=\frac{(-z)^3-3xy(-z)+z^3}{xyz}$
$+\frac{-z^3+3xyz+z^3}{xyz}=\frac{3xyz}{xyz}=3$
Ta có : \(a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow a^2+b^2-ab\ge ab\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2-ab+b^2}\le\dfrac{1}{ab}=\dfrac{abc}{ab}=c\) ( do $abc=1$ )
Tương tự ta có :
\(\dfrac{1}{b^2-bc+c^2}\le a\)
\(\dfrac{1}{c^2-ab+a^2}\le b\)
Cộng vế với vế các BĐT trên có :
\(\dfrac{1}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{1}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{1}{c^2-ac+a^2}\le a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
\(VT=\dfrac{1}{a^2+b^2-ab}+\dfrac{1}{b^2+c^2-bc}+\dfrac{1}{c^2+a^2-ca}\)
\(VT\le\dfrac{1}{2ab-ab}+\dfrac{1}{2bc-bc}+\dfrac{1}{2ca-ca}=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=\dfrac{a+b+c}{abc}=a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Ta có \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=-\dfrac{1}{c}\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^3=-\dfrac{1}{c^3}\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{3}{ab}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=\dfrac{-1}{c}\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}-\dfrac{3}{abc}=\dfrac{-1}{c^3}\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}=\dfrac{3}{abc}\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{bc}{a^2}+\dfrac{ac}{b^2}+\dfrac{ab}{c^2}\)
\(=\dfrac{abc}{a^3}+\dfrac{abc}{b^3}+\dfrac{abc}{c^3}\)
\(=\left(abc\right)\left(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}\right)\)
=\(abc.\dfrac{3}{abc}\)
=3
Vậy A=3
Đặt \(A=\frac{c\left(ab+1\right)^2}{b^2\left(bc+1\right)}+\frac{a\left(bc+1\right)^2}{c^2\left(ca+1\right)}+\frac{b\left(ca+1\right)^2}{a^2\left(ab+1\right)}\) và \(x=ab+1;\) \(y=bc+1;\) \(z=ca+1\) \(\left(\text{*}\right)\)
Khi đó, với các giá trị tương ứng trên thì biểu thức \(A\) trở thành: \(A=\frac{cx^2}{b^2y}+\frac{ay^2}{c^2z}+\frac{bz^2}{a^2x}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bộ ba phân số không âm của biểu thức trên (do \(a,b,c>0\)), ta có:
\(A=\frac{cx^2}{b^2y}+\frac{ay^2}{c^2z}+\frac{bz^2}{a^2x}\ge3\sqrt[3]{\frac{cx^2}{b^2y}.\frac{ay^2}{c^2z}.\frac{bz^2}{a^2z}}=3\sqrt[3]{\frac{xyz}{abc}}\) \(\left(\text{**}\right)\)
Mặt khác, do \(ab+1\ge2\sqrt{ab}\) (bất đẳng thức AM-GM cho hai số \(a,b\) luôn dương)
nên \(x\ge2\sqrt{ab}\) \(\left(1\right)\) (theo cách đặt ở \(\left(\text{*}\right)\))
Hoàn toàn tương tự với vòng hoán vị \(a\) \(\rightarrow\) \(b\) \(\rightarrow\) \(c\) và với chú ý cách đặt ở \(\left(\text{*}\right)\), ta cũng có:
\(y\ge2\sqrt{bc}\) \(\left(2\right)\) và \(z\ge2\sqrt{ca}\) \(\left(3\right)\)
Nhân từng vế \(\left(1\right);\) \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\), ta được \(xyz\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc\)
Do đó, \(3\sqrt[3]{\frac{xyz}{abc}}\ge3\sqrt[3]{\frac{8abc}{abc}}=3\sqrt[3]{8}=6\) \(\left(\text{***}\right)\)
Từ \(\left(\text{**}\right)\) và \(\left(\text{***}\right)\) suy ra được \(A\ge6\), tức \(\frac{c\left(ab+1\right)^2}{b^2\left(bc+1\right)}+\frac{a\left(bc+1\right)^2}{c^2\left(ca+1\right)}+\frac{b\left(ca+1\right)^2}{a^2\left(ab+1\right)}\ge6\) (điều phải chứng minh)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=1\)
lại một ngôn ngữ mới được tạo ra
cho \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
hãy tính \(B=\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^2}\)