Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)
Ta có \(A=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\cos 2x\cos^2xdx=\frac{1}{4}\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\cos 2x(\cos 2x+1)d(2x)\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{1}{4}\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\cos x(\cos x+1)dx=\frac{1}{4}\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\cos xdx+\frac{1}{8}\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}(\cos 2x+1)dx\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{1}{4}\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}\right|\sin x+\frac{1}{16}\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}\right|\sin 2x+\frac{1}{8}\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}\right|x=\frac{1}{4}+\frac{\pi}{16}\)
b)
\(B=\int ^{1}_{\frac{1}{2}}\frac{e^x}{e^{2x}-1}dx=\frac{1}{2}\int ^{1}_{\frac{1}{2}}\left ( \frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{e^x+1} \right )d(e^x)\)
\(\Leftrightarrow B=\frac{1}{2}\left.\begin{matrix} 1\\ \frac{1}{2}\end{matrix}\right|\left | \frac{e^x-1}{e^x+1} \right |\approx 0.317\)
c)
Có \(C=\int ^{1}_{0}\frac{(x+2)\ln(x+1)}{(x+1)^2}d(x+1)\).
Đặt \(x+1=t\)
\(\Rightarrow C=\int ^{2}_{1}\frac{(t+1)\ln t}{t^2}dt=\int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t}dt+\int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t^2}dt\)
\(=\int ^{2}_{1}\ln td(\ln t)+\int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t^2}dt=\frac{\ln ^22}{2}+\int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t^2}dt\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln t\\ dv=\frac{dt}{t^2}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{dt}{t}\\ v=\frac{-1}{t}\end{matrix}\right.\Rightarrow \int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t^2}dt=\left.\begin{matrix} 2\\ 1\end{matrix}\right|-\frac{\ln t+1}{t}=\frac{1}{2}-\frac{\ln 2 }{2}\)
\(\Rightarrow C=\frac{1}{2}-\frac{\ln 2}{2}+\frac{\ln ^22}{2}\)
\(A=\int\limits^{0.5}_{-0.5}cos\left[ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\right]dx\) hay \(A=\int\limits^{0.5}_{-0.5}cos\left[\frac{ln\left(1-x\right)}{1+x}\right]dx\)
Dù thế nào thì có lẽ người ra đề cũng nhầm lẫn, đây là 1 bài toán ko thể giải quyết trong chương trình phổ thông, nếu hàm là hàm sin chứ ko phải cos thì còn có cơ hội làm được trong chương trình 12
Tích phân sửa lại như sau thì giải quyết được bằng phương pháp thông thường:
\(A=\int\limits^{0.5}_{-0.5}sin\left[ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\right]dx\)
Vì hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ nên chỉ cần đặt \(x=-t\) sau đó đổi biến và cộng lại là suy ra ngay lập tức \(A=0\)
\(B=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{cos^3x}{cos^3x+sin^3x}dx\) (1)
Đặt \(\frac{\pi}{2}-x=t\Rightarrow dx=-dt;\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=\frac{\pi}{2}\\x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow t=0\end{matrix}\right.\)
\(B=\int\limits^0_{\frac{\pi}{2}}\frac{sin^3t}{sin^3t+cos^3t}\left(-dt\right)=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{sin^3t}{sin^3t+cos^3t}dt=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{sin^3x}{sin^3x+cos^3x}dx\) (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2):
\(2B=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{sin^3x+cos^3x}{sin^3x+cos^3x}dx=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0dx=\frac{\pi}{2}\Rightarrow B=\frac{\pi}{4}\)
c/ \(C=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\left(\sqrt{sinx}-\sqrt{cosx}\right)dx\) (1)
Đặt \(\frac{\pi}{2}-x=t\Rightarrow dx=-dt;\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=\frac{\pi}{2}\\x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow t=0\end{matrix}\right.\)
\(C=\int\limits^0_{\frac{\pi}{2}}\left(\sqrt{cost}-\sqrt{sint}\right)\left(-dt\right)=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\left(\sqrt{cost}-\sqrt{sint}\right)dt=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\left(\sqrt{cosx}-\sqrt{sinx}\right)dx\left(2\right)\)
Cộng vế với vế của (1) và (2):
\(2C=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\left(\sqrt{sinx}-\sqrt{cosx}+\sqrt{cosx}-\sqrt{sinx}\right)dx=0\)
\(\Rightarrow C=0\)
//Các dạng bài này đều giống nhau, nếu biểu thức đối xứng sin, cos và cận \(0;\frac{\pi}{2}\) thì đặt \(\frac{\pi}{2}-x=t\) rồi biến đổi và cộng lại
Tính \(I=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{cos^{2017}x}{sin^{2017}x+cos^{2017}}dx\left(1\right)\)
Đặt \(t=cosx\Rightarrow sinx=\sqrt{1-cos^2x}\)
\(\Rightarrow dt=-sinx.dx\)
\(\Rightarrow I=\int_0^1\dfrac{t^{2017}.}{\sqrt{1-t^2}.\left(\left(\sqrt{1-t^2}\right)^{2017}+t^{2017}\right)}dt\)
Đặt: \(t=siny\Rightarrow\sqrt{1-t^2}=cosy\)
\(\Rightarrow dt=cosy.dy\)
\(\Rightarrow I=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{sin^{2017}y.cosy}{cosy\left(cos^{2017}y+sin^{2017}y\right)}dy=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{sin^{2017}y}{\left(cos^{2017}y+sin^{2017}y\right)}\)
\(\Rightarrow I=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{sin^{2017}x}{\left(cos^{2017}x+sin^{2017}x\right)}\left(2\right)\)
Cộng (1) và (2) ta được
\(2I=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{sin^{2017}x+cos^{2017}x}{sin^{2017}x+cos^{2017}x}dx=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}1dx\)
\(=x|^{\dfrac{\pi}{2}}_0=\dfrac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{\pi}{4}\)
Thế lại bài toán ta được
\(\dfrac{\pi}{4}+t^2-6t+9-\dfrac{\pi}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow t^2-6t+9=0\)
\(\Leftrightarrow t=3\)
Chọn đáp án C
mỗi trắc nghiệm thoy mà lm dài ntn s @@
chắc lên đó khó lắm ag
a) \(\int\left(x+\ln x\right)x^2\text{d}x=\int x^3\text{d}x+\int x^2\ln x\text{dx}\)
\(=\dfrac{x^4}{4}+\int x^2\ln x\text{dx}+C\) (*)
Để tính: \(\int x^2\ln x\text{dx}\) ta sử dụng công thức tính tích phân từng phần như sau:
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=\ln x\\v'=x^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u'=\dfrac{1}{x}\\v=\dfrac{1}{3}x^3\end{matrix}\right.\)
Suy ra:
\(\int x^2\ln x\text{dx}=\dfrac{1}{3}x^3\ln x-\dfrac{1}{3}\int x^2\text{dx}\)
\(=\dfrac{1}{3}x^3\ln x-\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}x^3\)
Thay vào (*) ta tính được nguyên hàm của hàm số đã cho bằng:
(*) \(=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{3}x^3\ln x+\dfrac{1}{9}x^3+C\)
\(=\dfrac{4}{9}x^3-\dfrac{1}{3}x^3\ln x+C\)
b) Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x+\sin^2x\\v'=\sin x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u'=1+2\sin x.\cos x\\v=-\cos x\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(\int\left(x+\sin^2x\right)\sin x\text{dx}=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\int\left(1+2\sin x\cos^2x\right)\text{dx}\)
\(=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\int\cos x\text{dx}+2\int\sin x.\cos^2x\text{dx}\)
\(=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\sin x-2\int\cos^2x.d\left(\cos x\right)\)
\(=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\sin x-2\dfrac{\cos^3x}{3}+C\)
Câu 1:
\(\int\frac{sinx}{sinx+cosx}dx=\frac{1}{2}\int\frac{sinx+cosx+sinx-cosx}{sinx+cosx}dx=\frac{1}{2}\int dx-\frac{1}{2}\int\frac{cosx-sinx}{sinx+cosx}dx\)
\(=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\int\frac{d\left(sinx+cosx\right)}{sinx+cosx}=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}ln\left|sinx+cosx\right|+C\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{2}\\b=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\int cos^2xdx=\int\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x\right)dx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}sin2x+C\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=\frac{1}{2}\\d=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I=5\)
Câu 2:
\(I=\int\left(sin\left(lnx\right)-cos\left(lnx\right)\right)dx=\int sin\left(lnx\right)dx-\int cos\left(lnx\right)dx=I_1-I_2\)
Xét \(I_2=\int cos\left(lnx\right)dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=cos\left(lnx\right)\\dv=dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=-\frac{1}{x}sin\left(lnx\right)dx\\v=x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I_2=x.cos\left(lnx\right)+\int sin\left(lnx\right)dx=x.cos\left(lnx\right)+I_1\)
\(\Rightarrow I=I_1-\left(x.cos\left(lnx\right)+I_1\right)=-x.cos\left(lnx\right)+C\)
b/ \(I=\int\limits sin\left(lnx\right)dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=sin\left(lnx\right)\\dv=dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\frac{1}{x}cos\left(lnx\right)dx\\v=x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=x.sin\left(lnx\right)-\int cos\left(lnx\right)dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=cos\left(lnx\right)\\dv=dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=-\frac{1}{x}sin\left(lnx\right)dx\\v=x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=x\left[sin\left(lnx\right)-cos\left(lnx\right)\right]-I\)
\(\Rightarrow I=\frac{1}{2}x\left[sin\left(lnx\right)-cos\left(lnx\right)\right]|^{e^{\pi}}_1=\frac{1}{2}\left(e^{\pi}+1\right)\)
\(\Rightarrow a=2;b=\pi;c=1\)
a.
\(y'=\dfrac{2-x}{2x^2\sqrt{x-1}}=0\Rightarrow x=2\)
\(y\left(1\right)=0\) ; \(y\left(2\right)=\dfrac{1}{2}\) ; \(y\left(5\right)=\dfrac{2}{5}\)
\(\Rightarrow y_{min}=y\left(1\right)=0\)
\(y_{max}=y\left(2\right)=\dfrac{1}{2}\)
b.
\(y'=\dfrac{1-3x}{\sqrt{\left(x^2+1\right)^3}}< 0\) ; \(\forall x\in\left[1;3\right]\Rightarrow\) hàm nghịch biến trên [1;3]
\(\Rightarrow y_{max}=y\left(1\right)=\dfrac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\)
\(y_{min}=y\left(3\right)=\dfrac{6}{\sqrt{10}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{5}\)
c.
\(y=1-cos^2x-cosx+1=-cos^2x-cosx+2\)
Đặt \(cosx=t\Rightarrow t\in\left[-1;1\right]\)
\(y=f\left(t\right)=-t^2-t+2\)
\(f'\left(t\right)=-2t-1=0\Rightarrow t=-\dfrac{1}{2}\)
\(f\left(-1\right)=2\) ; \(f\left(1\right)=0\) ; \(f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{9}{4}\)
\(\Rightarrow y_{min}=0\) ; \(y_{max}=\dfrac{9}{4}\)
d.
Đặt \(sinx=t\Rightarrow t\in\left[-1;1\right]\)
\(y=f\left(t\right)=t^3-3t^2+2\Rightarrow f'\left(t\right)=3t^2-6t=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=0\\t=2\notin\left[-1;1\right]\end{matrix}\right.\)
\(f\left(-1\right)=-2\) ; \(f\left(1\right)=0\) ; \(f\left(0\right)=2\)
\(\Rightarrow y_{min}=-2\) ; \(y_{max}=2\)
Đáp án C
Phương pháp:
Chia cả tử và mẫu của phân thức trong dấu tích phân cho cos 2 x sau đó sử dụng phương pháp đổi biến, đặt t = tan x
Cách giải: