Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu hỏi của Hoàng Lê Minh - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Câu hỏi của Hoàng Lê Minh - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Ta có: \(m+n+p=2ma+2np+2pc\Rightarrow ma+np+pc=\frac{1}{2}\left(m+n+p\right)\)(1)
lại có:
\(\hept{\begin{cases}m=bn+cp\\n=am+cp\\p=am+bn\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}m-n=bn-am\\n-p=cp-bn\\p-m=am-cp\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m\left(a+1\right)=n\left(b+1\right)\\n\left(b+1\right)=p\left(c+1\right)\\p\left(c+1\right)=m\left(a+1\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{m\left(a+1\right)}=\frac{1}{n\left(b+1\right)}=\frac{1}{p\left(c+1\right)}=\frac{3}{ma+mb+mc+m+n+p}\)( Dãy tỉ số bằng nhau)
\(=\frac{3}{\frac{1}{2}\left(m+n+p\right)+n+m+p}=\frac{2}{n+m+p}\)
=> \(\frac{1}{a+1}=\frac{2m}{m+n+p}\)
\(\frac{1}{b+1}=\frac{2n}{m+n+p}\)
\(\frac{1}{c+1}=\frac{2p}{m+n+p}\)
=> \(A=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=\frac{2m+2n+2p}{m+n+p}=2\)
a) Ta có ^APB = ^BAC/2 + ^ABC/2 + ^ACB = 900 + ^ACB/2 = ^AMP; ^BAP = MAP
Suy ra \(\Delta\)AMP ~ \(\Delta\)APB (g.g) => \(\frac{AM}{PM}=\frac{AP}{BP}\). Tương tự \(\frac{PN}{BN}=\frac{AP}{BP}\)
Từ đó \(\frac{AM}{BN}.\frac{PN}{PM}=\left(\frac{AP}{BP}\right)^2\). Dễ thấy PM = PN, vậy \(\frac{AM}{BN}=\left(\frac{AP}{BP}\right)^2\)
b) Theo hệ thức lượng và tam giác đồng dạng, ta có biến đổi sau:
\(\frac{AM}{AC}+\frac{BN}{BC}+\frac{CP^2}{BC.AC}\)
\(=\frac{AM}{AP}.\frac{AP}{AC}+\frac{BN}{BP}.\frac{BP}{BC}+\frac{CP^2}{BC.AC}\)
\(=\frac{AP^2}{AB.AC}+\frac{BP^2}{BA.BC}+\frac{CP^2}{CA.CB}\)
\(=\frac{AP^2.BC+BP^2.CA+CP^2.AB}{BC.CA.AB}\)
\(=\frac{AP^2.\sin A+BP^2.\sin B+CA^2.\sin C}{2S}\)(S là diện tích tam giác ABC)
\(=\frac{AP^2.\sin\frac{A}{2}.\cos\frac{A}{2}+BP^2.\sin\frac{B}{2}.\cos\frac{B}{2}+CP^2.\sin\frac{C}{2}.\cos\frac{C}{2}}{S}\)
\(=\frac{FA.FP+DB.DP+EC.EP}{S}=\frac{dt\left[AFPE\right]+dt\left[BDPF\right]+dt\left[CEPD\right]}{S}=1.\)