Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
b) Ta có: \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)
\(2x^2+2y^2-x^2-2xy-y^2\ge0\)
\(x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\left(x-y\right)^2\ge0\) luôn đúng \(\forall x;y\)
Vậy \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\left(đpcm\right)\)
a) \(\text{ }x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4-x^3y-xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)(ĐPCM)
*NOTE: chứng minh đc vì (x-y)^2 >= 0 ; x^2 +xy +y^2 > 0
mình cũng làm đến nơi rồi nhưng sợ x^2+xy+y^2 chưa chắc lớn hơn 0 thanks bạn nhé
Với a, b, c là các số thực ta có: \(\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)=\dfrac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\).
Chọn \(a=x^2;b=y^2;c=z^2\) ta có \(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\). (1)
Chọn \(a=xy;b=yz;c=zx\) ta có \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=\left(xy\right)^2+\left(yz\right)^2+\left(zx\right)^2\ge xy.yz+yz.zx+zx.xy=xyz\left(x+y+z\right)\). (2)
Từ (1), (2) ta có đpcm.
\(bdt< =>x\left(x+y\right)\le\frac{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{y}< =>x^2-xy+y^2\ge xy\)
\(< =>\left(x-y\right)^2\ge0\)(dpcm)
