K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

24 tháng 2 2019

Đề sai:\(x+y+z=1\)

Đặt \(x^2+2xy=a;y^2+2xz=b;z^2+2xy=c\)

\(\Rightarrow a;b;c>0\) và \(a+b+c=\left(x+y+z\right)^2=1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+2xy}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\) vì \(a+b+c=1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge9\left(đpcm\right)\)

24 tháng 2 2019

Đề có  j sai đâu đệ haizz

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{9}{x+y+z}\)

\(Apdung:\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}\ge\frac{9}{1^2}=9\left(\text{đpcm}\right)\)

11 tháng 5 2019

áp dụng bđt bunhia dạng phân thức ta có

\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\)\(\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}\) =\(\frac{3^2}{\left(x+y+z\right)^2}\)=\(\frac{9}{1^2}\) =9

(đpcm) vậy dấu =xảy ra khi x=y=z=\(\frac{1}{3}\)

1 tháng 5 2018

Cauchy - Schwarz dạng Engel :

\(\frac{1}{x^2+2xy}+\frac{1}{y^2+2yz}+\frac{1}{z^2+2zx}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)

Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z = 1/3 

1 tháng 5 2018

cảm ơn nha

11 tháng 1 2019

Áp  dụng bđt Svac ta có:

\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2zx}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)

25 tháng 8 2021

gg oaoa

6 tháng 1 2018

Áp Dụng BĐT svacxơ, ta có 

\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=9\left(ĐPCM\right)\)

^_^

6 tháng 1 2018

Đặt a = \(x^2+2yz\); b = \(y^2+2xz\); c = \(z^2+2xy\)

\(\Rightarrow\)\(a,b,c>0\)và \(a+b+c=\left(x=y+z\right)^2=1\)

+) C/m : \(\left(a=b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\)

Hay \(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge9\)

\(\Rightarrow\)ĐPCM 

hên xui thôi -_-

15 tháng 5 2019

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz dạng engel,ta có:

\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+2yz+y^2+2xz+z^2+2xy}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)

\(\Rightarrowđpcm\)

15 tháng 4 2018

áp dụng bổ đề     \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)(bạn dùng cô-si,xét tích \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\))

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+2xy}+\frac{1}{y^2+2yz}+\frac{1}{z^2+2xz}\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{9}{1^2}\)

18 tháng 12 2018

Hướng dẫn :\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Rightarrow\frac{xy+yz+zx}{xyz}=0\Rightarrow xy+yz+zx=0\)

Thay vào:\(x^2+2yz=x^2+yz+yz=x^2+yz-xy-zx=x\left(x-y\right)-z\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left(x-z\right)\)

Tương tự thay vào mà quy đồng

8 tháng 9 2020

Ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0< =>\frac{xy}{xyz}+\frac{yz}{xyz}+\frac{zx}{xyz}=0< =>xy+yz+zx=0\)

Khi đó : \(x^2+2yz=x^2+2yz-xy-yz-zx=x^2-xy+yz-zx=\left(x-z\right)\left(x-y\right)\)

Bằng phép chứng minh tương tự ta được : \(y^2+2xz=\left(y-x\right)\left(y-z\right);z^2+2xy=\left(z-x\right)\left(z-y\right)\)

Đặt \(A=\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}=\frac{x^2}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{y^2}{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}+\frac{z^2}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}\)

\(< =>-A=\frac{x^2}{\left(x-y\right)\left(z-x\right)}+\frac{y^2}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)}+\frac{z^2}{\left(z-x\right)\left(y-z\right)}\)

\(=\frac{x^2\left(y-z\right)+y^2\left(z-x\right)+z^2\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}=...\)đến đây nhân tung rồi ghép cặp sẽ ra kq = 1 thì phải 

8 tháng 9 2020

làm luôn đỡ lòng vòng :(

\(=\frac{x^2\left(y-z\right)+y^2z-y^2x+z^2x-z^2y}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}=\frac{x^2\left(y-z\right)+zy\left(y-z\right)-x\left(y^2-z^2\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\)

\(=\frac{x^2\left(y-z\right)+zy\left(y-z\right)-x\left(y-z\right)\left(y+z\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}=\frac{\left(y-z\right)\left(x^2+zy-xy-xz\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\)

\(=\frac{\left(y-z\right)\left[x\left(x-y\right)-z\left(x-y\right)\right]}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}=\frac{\left(y-z\right)\left(x-y\right)\left(x-z\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}=-1\)

\(< =>-A=-1< =>A=1\)

NV
28 tháng 9 2019

\(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)