K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

13 tháng 4 2017

Bài 1

\(M=\dfrac{2x+y+z-15}{x}+\dfrac{x+2y+z-15}{y}+\dfrac{x+y+2z-15}{z}\)

\(M=\dfrac{x+12-15}{x}+\dfrac{y+12-15}{y}+\dfrac{z+12-15}{z}\)

\(M=\dfrac{x-3}{x}+\dfrac{y-3}{y}+\dfrac{z-3}{z}\)

\(M=1-\dfrac{3}{x}+1-\dfrac{3}{y}+1-\dfrac{3}{z}\)

\(M=3-\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y}+\dfrac{3}{z}\right)\)

\(M=3-3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=\dfrac{9}{x+y+z}=\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{9}{4}\)

\(\Rightarrow3-3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\le\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow M\le\dfrac{3}{4}\)

Vậy \(M_{max}=\dfrac{3}{4}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=4\)

Bài 2

\(P=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{30\left(a^2+b^2+c^2\right)}+\dfrac{a^3+b^3+c^3}{4abc}-\dfrac{131\left(a^2+b^2+c^2\right)}{60\left(ab+bc+ca\right)}\)

Xét \(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{4abc}\)

\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+3abc}{4abc}\)

\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)}{4abc}+\dfrac{3}{4}\)

\(=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}+\dfrac{1}{ab}\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+\dfrac{3}{4}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức

\(\Rightarrow\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{ab+bc+ca}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}+\dfrac{1}{ab}\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{9\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)}{4\left(ab+bc+ca\right)}+\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}+\dfrac{1}{ab}\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{9\left(a^2+b^2+c^2\right)-9\left(ab+bc+ca\right)}{4\left(ab+bc+ca\right)}+\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}+\dfrac{1}{ab}\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{9\left(a^2+b^2+c^2\right)}{4\left(ab+bc+ca\right)}-\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}+\dfrac{1}{ab}\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{9\left(a^2+b^2+c^2\right)}{4\left(ab+bc+ca\right)}-\dfrac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3+b^3+c^3}{4abc}\ge\dfrac{9\left(a^2+b^2+c^2\right)}{4\left(ab+bc+ca\right)}-\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^3+b^3+c^3}{4abc}-\dfrac{131\left(a^2+b^2+c^2\right)}{60\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{9\left(a^2+b^2+c^2\right)}{4\left(ab+bc+ca\right)}-\dfrac{131\left(a^2+b^2+c^2\right)}{60\left(ab+bc+ca\right)}-\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^3+b^3+c^3}{4abc}-\dfrac{131\left(a^2+b^2+c^2\right)}{60\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{a^2+b^2+c^2}{15\left(ab+bc+ca\right)}-\dfrac{3}{2}\) (1)

Xét \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{30\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

\(=\dfrac{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}{30\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

\(=\dfrac{1}{30}+\dfrac{ab+bc+ca}{15\left(a^2+b^2+c^2\right)}\) (2)

Cộng (1) và (2) theo từng vế

\(P\ge\dfrac{a^2+b^2+c^2}{15\left(ab+bc+ca\right)}+\dfrac{ab+bc+ca}{15\left(a^2+b^2+c^2\right)}-\dfrac{22}{15}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2+c^2}{15\left(ab+bc+ca\right)}+\dfrac{ab+bc+ca}{15\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)}{225\left(ab+bc+ca\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2+c^2}{15\left(ab+bc+ca\right)}+\dfrac{ab+bc+ca}{15\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{225}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2+c^2}{15\left(ab+bc+ca\right)}+\dfrac{ab+bc+ca}{15\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\dfrac{2}{15}\)

\(P\ge\dfrac{a^2+b^2+c^2}{15\left(ab+bc+ca\right)}+\dfrac{ab+bc+ca}{15\left(a^2+b^2+c^2\right)}-\dfrac{22}{15}\ge\dfrac{2}{15}-\dfrac{22}{15}=-\dfrac{4}{3}\)

\(\Leftrightarrow P\ge-\dfrac{4}{3}\)

Vậy \(P_{min}=\dfrac{-4}{3}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)

13 tháng 4 2017

Bài 1

\(M=\dfrac{2x+y+z-15}{x}+\dfrac{x+2y+z-15}{y}+\dfrac{x+y+2z-15}{z}\)

20 tháng 8 2023

Áp dụng BĐT Cauchy cho cặp số dương \(\dfrac{1}{\left(z+x\right)};\dfrac{1}{\left(z+y\right)}\)

\(\dfrac{1}{\left(z+x\right)}+\dfrac{1}{\left(z+y\right)}\ge\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{xy}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\le\dfrac{2xy}{z+x}+\dfrac{2xy}{z+y}\left(1\right)\)

Tương tự ta được

\(\dfrac{zx}{\sqrt[]{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}\le\dfrac{2zx}{y+z}+\dfrac{2zx}{y+x}\left(2\right)\)

\(\dfrac{yz}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{2yz}{x+y}+\dfrac{2yz}{x+z}\left(3\right)\)

\(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\) ta được :

\(P=\dfrac{yz}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\dfrac{zx}{\sqrt[]{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\dfrac{xy}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\le\dfrac{2yz}{x+y}+\dfrac{2yz}{x+z}+\dfrac{2zx}{y+z}+\dfrac{2zx}{y+x}+\dfrac{2xy}{z+x}+\dfrac{2xy}{z+y}\)

\(\Rightarrow P\le2\left(x+y+z\right)=2.3=6\)

\(\Rightarrow GTLN\left(P\right)=6\left(tạix=y=z=1\right)\)

21 tháng 6 2017

1. Theo BĐT AM - GM, ta có:

\(\Sigma\dfrac{1}{\left(2x+y+z\right)^2}=\Sigma\dfrac{1}{\left\{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)\right\}^2}\le\Sigma\dfrac{1}{4\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)

Do đó BĐT ban đầu sẽ đúng nếu ta C/m được

\(\Sigma\dfrac{1}{4\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\dfrac{3}{16}\Leftrightarrow\dfrac{8}{3}\left(x+y+z\right)\le\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{8}{3}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(xy+yz+zx\right)\)

Nhưng điều này đúng vì \(xy+yz+zx\ge\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=3\) và theo bổ đề bên trên. Từ đó ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

( Còn bài 2 để suy nghĩ rồi tối đăng cho nha )

22 tháng 6 2017

Hơi lâu đúng không mk giải bài 2 cho

1)Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=15\\x^3+y^3+z^3=495\end{matrix}\right.\) 2) Cho a,b,c là 3 số thực không âm, tìm GTLN của biểu thức: \(M=\left(a+b+c\right)^3+a\left(2bc-1\right)+b\left(2ac-1\right)+c\left(2ab-1\right)\) 3) Giải phương trình: \(\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{9\sqrt{2}}{4}\left(x-1\right)\sqrt{x-1}\) 4) Cho \(x^2+y^2+z^2=k\left(\forall k0\right)\) cho trước. Tìm GTLN của...
Đọc tiếp

1)Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=15\\x^3+y^3+z^3=495\end{matrix}\right.\)

2) Cho a,b,c là 3 số thực không âm, tìm GTLN của biểu thức:

\(M=\left(a+b+c\right)^3+a\left(2bc-1\right)+b\left(2ac-1\right)+c\left(2ab-1\right)\)

3) Giải phương trình: \(\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{9\sqrt{2}}{4}\left(x-1\right)\sqrt{x-1}\)

4) Cho \(x^2+y^2+z^2=k\left(\forall k>0\right)\) cho trước.

Tìm GTLN của \(A=k\left(xy+yz+xz\right)+\dfrac{1}{2}\left[x^2\left(y-z\right)^2+y^2\left(x-z\right)^2+z^2\left(x-y\right)^2\right]\)

5) Chứng minh rằng:

\(\left(3a+2b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\le\dfrac{45}{2}\)(Bài này quên điều kiện hay gì đó rồi, ae nếu thấy sai thì fix giùm)

6) Cho a là số thay đổi thỏa mãn: \(-1\le a\le1\)

Tìm GTLN của b sao cho bđt sau đúng:

\(2\sqrt{1-a^4}+\left(b-1\right)\left(\sqrt{1+a^2}-\sqrt{1-a^2}\right)+b-4\le0\)

7) Cho a,b,c dương thỏa mãn \(abc=1\). Chứng minh rằng:

\(\sum\dfrac{a}{\sqrt{8b^3+1}}\ge1\)

8) Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

\(\sum\dfrac{a^2-b^2}{\sqrt{b+c}}\ge0\)

5
15 tháng 12 2017

Bài 2: Restore : a;b;c không âm thỏa \(a^2+b^2+c^2=1\)

Tìm Min & Max của \(M=\left(a+b+c\right)^3+a\left(2bc-1\right)+b\left(2ac-1\right)+c\left(2ab-1\right)\)

Bài 4: Tương đương giống hôm nọ thôi : V

Bài 5 : Thiếu ĐK thì vứt luôn : V

Bài 7: Tương đương

( Hoặc có thể AM-GM khử căn , sau đó đổi \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\dfrac{x}{y};\dfrac{y}{z};\dfrac{z}{x}\right)\) rồi áp dụng bổ đề vasile)

Bài 8 : Đây là 1 dạng của BĐT hoán vị

12 tháng 12 2017

@Ace Legona @Akai Haruma @Hung nguyen @Hà Nam Phan Đình @Neet

AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 11 2023

Đề sai. Bạn xem lại.

loading...

Tương tự, ta được:

\(\left(2-y\right)\left(2-z\right)>=\dfrac{\left(x+1\right)^2}{4}\)

và \(\left(2-z\right)\left(2-x\right)>=\left(\dfrac{y+1}{2}\right)^2\)

=>8(2-x)(2-y)(2-z)>=(x+1)(y+1)(z+1)

(x+yz)(y+zx)<=(x+y+yz+xz)^2/4=(x+y)^2*(z+1)^2/4<=(x^2+y^2)(z+1)^2/4

Tương tự, ta cũng co:

\(\left(y+xz\right)\left(z+y\right)< =\dfrac{\left(y^2+z^2\right)\left(x+1\right)^2}{2}\)

và \(\left(z+xy\right)\left(x+yz\right)< =\dfrac{\left(z^2+x^2\right)\left(y+1\right)^2}{2}\)

Do đó, ta được:

\(\left(x+yz\right)\left(y+zx\right)\left(z+xy\right)< =\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\)

=>ĐPCM

 

Đề: Cho \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z0\\x+y\le z\end{matrix}\right.\) tìm Min của \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)\) Làm thế này không biết đúng ko Ta có :A= \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)=3+\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{x^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}\) => A...
Đọc tiếp

Đề: Cho \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\x+y\le z\end{matrix}\right.\) tìm Min của \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)\) Làm thế này không biết đúng ko

Ta có :A= \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)=3+\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{x^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}\)

=> A \(=3+\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\right)+\left(\dfrac{x^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{16x^2}\right)+\left(\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{16y^2}\right)+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{y^2}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có

\(A\ge3+2+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{y^2}\right)=6+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{y^2}\right)\)

Do \(x+y\le z\Rightarrow\dfrac{x}{z}+\dfrac{y}{z}\le1\) ; Đặt \(u=\dfrac{x}{z}\); \(v=\dfrac{y}{z}\)

\(\Rightarrow\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{y^2}=\dfrac{1}{u^2}+\dfrac{1}{v^2}\ge\dfrac{2}{uv}\ge\dfrac{2}{\dfrac{\left(u+v\right)^2}{4}}\ge\dfrac{2}{\dfrac{1}{4}}=8\)

\(\Rightarrow A\ge6+\dfrac{15}{16}.8=\dfrac{27}{2}\) Vậy minA = \(\dfrac{27}{2}\) khi \(x=y=\dfrac{z}{2}\)

4
10 tháng 12 2017

@Unruly Kid

10 tháng 12 2017

Gọi thêm bác nào vào duyệt đi???