K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
17 tháng 6 2019

\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge\frac{2a}{c}\) ; \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2c}{b}\); \(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2b}{a}\)

Cộng vế với vế

\(2\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\)

Dấu "=" khi \(a=b=c\)

9 tháng 2 2019

"Chấm" nhẹ hóng cao nhân ạ :)

P/s: mong các bác giải theo cách lớp 8 ạ :) Tặng 5SP / 1 câu nhé ;)

9 tháng 2 2019

Câu 3: Tham khảo đây nhá: Câu hỏi của Trương Thanh Nhân, t làm r,giờ lười đánh lại.

NV
6 tháng 5 2021

Ta chứng minh BĐT sau với các số dương:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

Thật vậy, BĐT tương đương: \(\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Áp dụng:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) ; \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\) ; \(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\)

Cộng vế với vế:

\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\)

NV
6 tháng 5 2021

b.

Ta có:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\Rightarrow\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}\ge\dfrac{12}{a+b}\) (1)

\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\Rightarrow\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\ge\dfrac{8}{b+c}\) (2)

\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\) (3)

Cộng vế với vế (1); (2) và (3):

\(\dfrac{4}{a}+\dfrac{5}{b}+\dfrac{3}{c}\ge4\left(\dfrac{3}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

21 tháng 4 2018

Câu này quá khó .Thần đồng chắc mới giải được.

16 tháng 11 2017

Do vai trò của a,b,c là như nhau nên ta cò thể giả sử: \(a\ge b\ge c>0\)

Ta có:\(\frac{a^2}{b^2+c^2}-\frac{a}{b+c}=\frac{ab\left(a-b\right)+ac\left(a-c\right)}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}\)

CMTT: \(\frac{b^2}{c^2+a^2}-\frac{b}{c+a}=\frac{bc\left(b-c\right)-ab\left(a-b\right)}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}\)

             \(\frac{c^2}{a^2+b^2}-\frac{c}{a+b}=\frac{-bc\left(b-c\right)-ac\left(a-c\right)}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)

Đặt \(A=\left(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\right)-\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)

\(\Rightarrow A=\left[\frac{ab\left(a-b\right)}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}-\frac{ab\left(a-b\right)}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}\right]\)\(\left[\frac{ac\left(a-c\right)}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}-\frac{ac\left(a-c\right)}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\right]\)+       \(\left[\frac{bc\left(b-c\right)}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}-\frac{bc\left(b-c\right)}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\right]\)

\(\Rightarrow A=ab\left(a-b\right)\left[\frac{1}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}-\frac{1}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}\right]^{\left(1\right)}\)+ ... 

Do \(a\ge b\ge c>0\Rightarrow\left(1\right)>0.\)

CMTT \(\Rightarrow A>0.\Rightarrowđpcm\)

(Mình làm hơi tắt, mong bạn thông cảm. Cho 1 k nha.)

17 tháng 11 2017

Tại sao (1) lại >0 hả bạn? Với lại đề mình cho đâu có đk a>=b>=c>0 đâu!

NV
25 tháng 2 2020

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2\left(b+c\right)}{4\left(b+c\right)}}=a\)

Tương tự: \(\frac{b^2}{a+c}+\frac{a+c}{4}\ge b\) ; \(\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge c\)

Cộng vế với vế:

\(VT+\frac{a+b+c}{2}\ge a+b+c\Rightarrow VT\ge\frac{a+b+c}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)