Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
Ta chứng minh được
\(a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow P\le\sum\frac{ab}{ab\left(a^2+b^2\right)+ab}=\sum\frac{1}{a^2+b^2+1}\)
Đặt \(\left(a^2;b^2;c^2\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\Rightarrow xyz=1\)
Ta lại chứng minh được:
\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\)
\(\Rightarrow P\le\sum\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\sum\frac{xyz}{xy\left(x+y\right)+xyz}=\sum\frac{z}{x+y+z}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Đây là bài thi vào 10 của Thanh Hóa thì phải
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
\(a^3+b^3+1=a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)
=> \(\frac{\sqrt{1+a^3+b^3}}{ab}\ge\frac{\sqrt{ab\left(a+b+c\right)}}{ab}=\frac{\sqrt{a+b+c}}{\sqrt{ab}}\)
Tuong tu: \(\frac{\sqrt{1+b^3+c^3}}{bc}\ge\frac{\sqrt{a+b+c}}{\sqrt{bc}}\)
\(\sqrt{1+c^3+a^3}\ge\frac{\sqrt{a+b+c}}{\sqrt{ca}}\)
suy ra: \(\frac{\sqrt{1+a^3+b^3}}{ab}+\frac{\sqrt{1+b^3+c^3}}{bc}+\frac{\sqrt{1+c^3+a^3}}{ca}\ge\sqrt{a+b+c}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\right)\)
\(\ge\sqrt{3\sqrt[3]{abc}}.3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{ab}}.\frac{1}{\sqrt{bc}}.\frac{1}{\sqrt{ca}}}=3\sqrt{3}\) (dpcm)
Vô lí vì a+b+c=0\(\Rightarrow\frac{5}{a+b+c}\)không có đáp án
Ta dễ có:\(\frac{1}{a^2+1}=\frac{a^2+1-a^2}{a^2+1}=1-\frac{a^2}{a^2+1}\ge1-\frac{a^2}{2a}=1-\frac{a}{2}\)
Một cách tương tự \(\frac{1}{b^2+1}\ge1-\frac{b}{2};\frac{1}{c^2+1}\ge1-\frac{c}{2}\)
Khi đó: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge3-\frac{a+b+c}{2}\)
Cần chứng minh: \(3-\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3}{2}\Leftrightarrow a+b+c\le3\)
Hình như có gì đó sai sai @@
Lời giải kia sai rồi :V Làm cách khác:
Ta có:\(\frac{1}{a^2+1}=\frac{a^2+1-a^2}{a^2+1}=1-\frac{a^2}{a^2+1}\)
Tương tự rồi ta được:
\(LHS=3-\left(\frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1}\right)\)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\(\frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1}\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{3a^2+3}+\frac{b^2}{3b^2+3}+\frac{c^2}{3c^2+3}\le\frac{1}{2}\)
Ta dễ có được:
\(\frac{4a^2}{3a^2+3}=\frac{4a^2}{3a^2+ab+bc+ca}=\frac{\left(a+a\right)^2}{a\left(a+b+c\right)+2a^2+bc}\le\frac{a^2}{a\left(a+b+c\right)}+\frac{a^2}{2a^2+bc}\)
Tương tự:
\(\frac{4b^2}{3b^2+3}\le\frac{b^2}{b\left(a+b+c\right)}+\frac{b^2}{2b^2+ca};\frac{4c^2}{3c^2+3}\le\frac{c^2}{c\left(a+b+c\right)}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\)
\(\Rightarrow LHS\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}+\Sigma\frac{a^2}{2a^2+bc}\right)=\frac{1}{4}\left(1+\Sigma\frac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)
Một cách khác ta dễ có được: \(\Sigma\frac{a^2}{2a^2+bc}\le1\)
Done !
a, Có: \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{ab+a+1}=\frac{a}{ab+a+abc}=\frac{1}{bc+b+1}\\\frac{a}{ab+a+1}=\frac{ac}{abc+ac+c}=\frac{ac}{ac+c+1}\end{cases}}\)
Tương tự cho 2 phân số còn lại sau đó cộng vế theo vế ta được:
\(3S=\frac{ab+a+1}{ab+a+1}+\frac{bc+b+1}{bc+b+1}+\frac{ca+c+1}{ca+c+1}=3\Leftrightarrow S=1\)
2, Chú ý: a+b+c=0 và a+b=-c
Xét: \(A=a^4+b^4+c^4=\left(a^2+b^2\right)^2+c^2-2a^2b^2=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
Mà: \(a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)=-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)=\left(ab+bc+ca\right)^2\)
Vậy thay 2 biểu thức trên vào ta được: ĐPCM
c) Ta có: \(\Leftrightarrow\left(x^2+2x+1\right)-\left(y^2+4y+4\right)=7\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2-\left(y+2\right)^2=7\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+3\right)\left(x-y-1\right)=7\)
Do x,y>0 => x+y+3>x-y-1
Vậy pt <=> \(\hept{\begin{cases}x-y-1=1\\x+y+3=7\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x-y=2\\x+y=4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}}}\)
Vậy (x,y)=(3,1)
Vì a, b, c > 0
Ta có \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel
\(VT=\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3+\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\\frac{1}{1+ab}=\frac{1}{1+bc}=\frac{1}{1+ca}\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c\)
