Question

[Lê Phương Thùy]

1.CM: với mọi số nguyên n thì \(n^3+2013n^2+2n\) chia hết cho 6

2. tìm tất cả các số tự nhiên sao cho A= \(n^2+10n+136\) là số chính phương

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

1/

\(n^3+2013n^2+2n=n^3+3n^2+2n+2010n^2=n\left(n^2+3n+2\right)+2010n^2\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+2010n^2\)

Do \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là tích của 3 số nguyên liên tiếp \(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\)

Lại có \(2010⋮6\Rightarrow2010n^2⋮6\)

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+2010n^2⋮6\) (đpcm)

2/ Giả sử A là số chính phương, đặt \(A=k^2\) với \(k\in N\)

\(\Rightarrow n^2+10n+136=k^2\Leftrightarrow\left(n+5\right)^2+111=k^2\)

\(\Leftrightarrow\left(n+5\right)^2-k^2=-111\Leftrightarrow\left(n+k+5\right)\left(n-k+5\right)=-111\)

Do \(n+k+5\ge5\) nên ta có các trường hợp sau:

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}n+k+5=37\\n-k+5=-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow n=12\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}n+k+5=111\\n-k+5=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow n=50\)

Vậy \(n=\left\{12;50\right\}\)

Answer 2

[Trần Trung Nguyên]

1.

Ta có \(n^3+2013n^2+2n=n^3+3n^2+2n+2010n^2=n^3+n^2+2n^2+2n+2010n^2=n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)+2010n^2=\left(n+1\right)\left(n^2+2n\right)+2010n^2=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+2010n^2\)

Ta lại có \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là 3 số nguyên liên tiếp\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\left(1\right)\)

Mà \(2010⋮6\Leftrightarrow2010n^2⋮6\left(2\right)\)

Từ (1),(2)\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+2010n^2⋮6\) hay \(n^3+2013n^2+2n⋮6\)

2.

Đặt \(n^2+10n+136=k^2\left(k\in N\right)\Leftrightarrow n^2+2.n.5+25+111=k^2\Leftrightarrow\left(n+5\right)^2+111=k^2\Leftrightarrow111=k^2-\left(n+5\right)^2\Leftrightarrow\left(k+n+5\right)\left(k-n-5\right)=111\)(*)

Vì 111 là số nguyên tố và k+n+5>k-n-5

Vậy (*)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}k+n+5=111\\k-n-5=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}k+n=106\\k-n=6\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}k=56\\n=50\end{matrix}\right.\)

Vậy n=50 thì n²+10n+136 là số chính phương