Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét ba số liên tiếp \(8p-1;8p;8p+1\), chắc chắn ta tìm được một số chia hết cho 3
+Giả sử nếu chọn 8p-1 là số nguyên tố thì \(8p-1>3\) và \(8p-1\)không chia hết cho 3
Do vậy tồn tại một trong hai số còn lại là 8p và 8p+1 chia hết cho 3 . Vậy thì tích \(8p\left(8p+1\right)\) cũng chia hết cho 3
Nhưng từ giả thiết , ta lại có p là số nguyên tố, do vậy 8p không thể chia hết cho 3. Vậy 8p+1 chia hết cho 3 => 8p+1 là hợp số
+Giả sử với trường hợp 8p+1 là số nguyên tố thì lập luận tương tự ta cũng suy ra 8p-1 là hợp số.
Vậy ........................................
Bài này dễ thôi bạn !!!
Xét mọi p nguyên tố lẻ và p > 3=> p^2:3 dư 1 do 1 SCP : 3 dư 0 hoặc 1 và SCP đó không chia hết 3 do là SNT>3
=> 8p^2+1 chia hết cho 3 và > 3 do p > 3 => Là hợp số => Vô lí => Loại
Xét p=3 => 8p^2+2p+1=79 là SNT và 8p^2+1=73 là SNT lẻ (TMĐK)
=> ĐPCM.
BÀi 4 :VÌ p và 5 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên p không chia hết cho 5
Ta có P8n+3P4n-4 = p4n(p4n+3) -4
Vì 1 số không chia hết cho 5 khi nâng lên lũy thừa 4n sẽ có số dư khi chia cho 5 là 1
( cách chứng minh là đồng dư hay tìm chữ số tận cùng )
suy ra : P4n(P4n+3) -4 đồng dư với 1\(\times\)(1+3) -4 = 0 ( mod3) hay A chia hết cho 5
Bài 5
Ta xét :
Nếu p =3 thì dễ thấy 4P+1=9 là hợp số (1)
Nếu p\(\ne\)3 ; vì 2p+1 là số nguyên tố nên p không thể chia 3 dư 1 ( vì nếu p chia 3 duw1 thì 2p+1 chia hết cho 3 và 2p+1 lớn hơn 3 nên sẽ là hợp số trái với đề bài)
suy ra p có dạng 3k+2 ; 4p+1=4(3k+2)+1=12k+9 chia hết cho 3 và 4p+1 lớn hơn 3 nên là 1 hợp số (2)
Từ (1) và (2) suy ra 4p+1 là hợp số
1.
\(x^4+4y^4=x^4+4x^2y^2+y^4-4x^2y^2=\left(x^2+2y^2\right)^2-\left(2xy\right)^2\)
\(=\left(x^2-2xy+2y^2\right)\left(x^2+2xy+2y^2\right)\)
Do x, y nguyên dương nên số đã cho là SNT khi:
\(x^2-2xy+2y^2=1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2=1\)
\(y\in Z^+\Rightarrow y\ge1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=1\)
Thay vào kiểm tra thấy thỏa mãn
2. \(N=n^4+4^n\)
- Với n chẵn hiển nhiên N là hợp số
- Với \(n\) lẻ: \(\Rightarrow n=2k+1\)
\(N=n^4+4^n=n^4+4^{2k+1}=n^4+4.4^{2k}+4n^2.4^k-n^2.4^{k+1}\)
\(=\left(n^2+2.4^k\right)^2-\left(n.2^{k+1}\right)^2=\left(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\right)\left(n^2+2.4^k+n.2^{k+1}\right)\)
Mặt khác:
\(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\ge2\sqrt{2n^2.4^k}-n.2^{k+1}=2\sqrt{2}n.2^k-n.2^{k+1}\)
\(=n.2^{k+1}\left(\sqrt{2}-1\right)\ge2\left(\sqrt{2}-1\right)>1\)
\(\Rightarrow N\) là tích của 2 số dương lớn hơn 1
\(\Rightarrow\) N là hợp số
Bài 4 chắc không có cách "đại số" nào (tức là dựa vào lý luận chia hết tổng quát) để giải. Mình nghĩ vậy (có lẽ có, nhưng mình ko biết).
Chắc chỉ sáng lọc và loại trừ theo quy tắc kiểu: do đổi vị trí bất kì đều là SNT nên không thể chứa các chữ số chẵn và chữ số 5, như vậy số đó chỉ có thể chứa các chữ số 1,3,7,9
Nó cũng không thể chỉ chứa các chữ số 3 và 9 (sẽ chia hết cho 3)
Từ đó sàng lọc được các số: 113 (và các số đổi vị trí), 337 (và các số đổi vị trí)
Đề kiểu gì vậy.
Ta có: \(2p^2⋮p^2\)thì là hợp số luông chứ chứng minh cái gì nữa
1. Có: \(8p-1;8p;8p+1\) là ba số nguyên liên tiếp.
Suy ra: Phải có một số chia hết cho 3.
Mà: \(8p-1\) là số nguyên tố (bài cho)
\(\Rightarrow8p-1⋮̸3\)
Có: p là số nguyên tố. \(\left(8;3\right)=1\)
\(\Rightarrow8p⋮̸3\)
Suy ra: \(8p+1⋮3\)
\(\Rightarrow8p+1\) là hợp số (ĐPCM)
2. Có: \(p^2-1=p^2+p-p-1=\left(p^2+p\right)-\left(p+1\right)=p\left(p+1\right)-\left(p+1\right)=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)
+) p là số nguyên tố lớn hơn 3 ⇒ p là số lẻ. (1)
\(\Leftrightarrow p-1\) và \(p+1\) là hai số chẵn liên tiếp.
\(\Leftrightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮8\) (*)
Từ (1) suy ra p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (k ∈ N*)
\(+)p=3k+1\Leftrightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)=\left(3k+2\right)3k⋮3\)
\(+)p=3k+2\Leftrightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)=\left(3k+1\right)\left(3k+3\right)⋮3\)
\(\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮3\) (**)
Từ (*) và (**) suy ra \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮\left(3;8\right)\Leftrightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮24\)
Vậy \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮24\) (ĐPCM)