Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) . Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H, AD lại cắt (O) tại K.
a/CMR BC là tia phân giác góc HBK
b/C/m H đối xứng K qua BC
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
25 tháng 8 2018
d) Tam giác ADB vuông tại D có: ∠(A1) + ∠(ABC) = 90o (1)
Tam giác BCF vuông tại F có: ∠(C1) + ∠(ABC) = 90o (2)
Từ (1)và (2) ⇒ ∠(A1) = ∠(C1)
Mặt khác, ta có: ∠( A 1 ) = ∠( C 2 ) ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
⇒ ∠( C 1 ) = ∠( C 2 )
⇒ CD là tia phân giác của góc HCM
Xét tam giác HCM có: CD vừa là tia phân giác vừa là đường cao (CD⊥HD)
⇒ Δ HCM cân tại C
⇒ CD cũng là trung tuyến của của HM hay H và M đối xứng với nhau qua D.
26 tháng 7 2023
a: góc HDC+góc HEC=180 độ
=>HDCE nội tiếp
góc BFC=góc BEC=90 độ
=>BFEC nội tiếp
c: góc AFH+góc AEH=180 độ
=>AEHF nội tiếp
góc FEH=góc BAD
góc DEH=góc FCB
mà góc BAD=góc FCB
nên góc FEH=góc DEH
=>EH là phân giác của góc DEF
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
17 tháng 5 2017
a. Tứ giác CEHD có \(\widehat{HEC}=\widehat{HDC}=90^o\Rightarrow\) nó là tứ giác nội tiếp.
b. Tứ giác BFEC có \(\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o\Rightarrow\)nó là tứ giác nội tiếp. Vậy 4 điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn.
c. Ta thấy \(\Delta HAE\sim\Delta CAD\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{AC}=\frac{AE}{AD}\Rightarrow AE.AC=AH.AD\)
Ta thấy \(\Delta CBE\sim\Delta CAD\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{BC}{AC}=\frac{BE}{AD}\Rightarrow AD.BC=BE.AC\)
d. Ta thấy ngay \(\widehat{PCB}=\widehat{BAM}\) (Cùng phụ với góc ABC)
Mà \(\widehat{BAM}=\widehat{BCM}\) (Góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
Vậy nên \(\widehat{PCB}=\widehat{BCM}\) hay CM là phân giác góc \(\widehat{PCB}\)
Lại có \(CM⊥HD\) nên HCM là tam giác cân. Vậy CB là trung trực của HM hay H, M đối xứng nhau qua BC.
e. Ta thấy BFHD là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{FDH}=\widehat{FBH}\) (Góc nội tiếp cùng chẵn cung FH)
DHEC cùng là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{HDE}=\widehat{HCE}\) (Góc nội tiếp cùng chẵn cung HE)
Mà \(\widehat{FBH}=\widehat{HCE}\) ( Cùng phụ với góc \(\widehat{BAC}\) )
nên \(\widehat{FDH}=\widehat{HDE}\) hay DH là phân giác góc FDE.
Tương tự FH, EH cũng là phân giác góc DFE và DEF.
Vậy tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF chính là H.
14 tháng 3 2022
a, Xét tứ giác ABDK có
^AKB = ^ADB = 900
mà 2 góc này kề, cùng nhìn cạnh AB
Vậy tứ giác ABDK là tứ giác nt 1 đường tròn
b, Ta có ^KBD = ^DAK ( góc nt chắn cung KE của tứ giác ABEH )
mà ^EAC = ^CBE ( góc nt chắn cung EC )
=> ^KBC = ^CBE
=> BC là tia pg ^HBE
8 tháng 2 2023
a:
H đối xứng K qua BC
=>BH=BK CH=CK
Xét ΔBHC và ΔBKC có
BH=BK
HC=KC
BC chung
=>ΔBHC=ΔBKC
=>góc BHC=góc BKC
góc BHC=180 độ-góc HBC-góc HCB
=90 độ-góc HBC+90 độ-góc HCB
=góc ABC+góc ACB
=180 độ-góc BAC
=>góc BAC+góc BHC=180 độ
=>góc BAC+góc BKC=180 độ
=>ABKC là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
ΔABM nội tiếp
AM là đường kính
=>ΔABM vuông tại B
=>BM//CH
Xét (O) có
ΔACM nội tiếp
AM là đường kinh
=>ΔACM vuông tại C
=>CM//BH
mà BM//CH
nên BHCM là hình bình hành
=>CB căt HM tại trung điểm của mỗi đường
=>H,I,M thẳng hàng
19 tháng 6 2023
a: góc HBC+góc HCB=90 độ-góc ACB+90 độ-góc ABC=góc BAC
=>góc BHC+góc BAC=180 độ
H đối xứng K qua BC
=>BH=BK và CH=CK
Xét ΔBHC và ΔBKC có
BH=BK
CH=CK
BC chung
=>ΔBHC=ΔBKC
=>góc BKC=góc BHC
=>góc BKC+góc BAC=180 độ
=>ABKC nội tiếp
b: Gọi Ax là tiếp tuyến của (O) tại A
=>góc xAC=góc ABC=góc AEF
=>EF//Ax
=>EF vuông góc OA
c: Xét tứ giác BHCA' có
BH//CA'
BA'//CH
=>BHCA' là hbh
=>H,I,A' thẳng hàng
8 tháng 3 2023
Sửa đề: M đối xứng H qua BC
Gọi AD là đường kính, I là giao của HD và BC
góc ABD=1/2*sđ cung AD=90 độ
=>BD//CH
góc ACD=1/2*sđ cung AD=90 độ
=>CD//BH
mà BD//CH
nên BHCD là hình bình hành
=>BC căt HD tại trung điểm của mỗi đường
=>I là trung điểm chung của HD và BC và BH//CD
góc AMD=1/2*sđ cung AD=90 độ
=>MD vuông góc AM
=>MD//BC
=>BCDM là hình thang cân
=>góc MBC=góc DCB=góc HBC
=>BC là phân giác của góc HBM
mà BC là trung tuyến của ΔHBM
nên ΔHMB cân tại B
=>BC là trug trực của MH
=>M đối xứng H qua BC
AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 7 2021
Lời giải:
Ta có:
$\widehat{MBD}=\widehat{MBC}=\widehat{MAC}=\widehat{DAC}$ (góc nt cùng chắn cung $MC$)
$\widehat{DAC}=\widehat{EBC}=\widehat{HBD}$ (cùng phụ $\widehat{C}$)
$\Rightarrow \widehat{MBD}=\widehat{HBD}$
Do đó dễ dàng thấy $\triangle HBD=\triangle MBD$ (g.c.g)
$\Rightarrow HD=DM$
Vậy $HM\perp BC$ tại $D$ và $HD=DM$ nên $H, M$ đối xứng nhau qua $BC$
NA
Ngoc Anh Thai
Giáo viên
22 tháng 5 2021
a) \(\widehat{CBH}=\widehat{DAC}\) (cùng phụ với \(\widehat{ACB}\))
\(\widehat{KBC}=\widehat{KAC}\) (cùng chắn cung KC)
Suy ra \(\widehat{KBC}=\widehat{CBH}\).
Xét tam giác BHK có \(\widehat{BCK}=\widehat{BCH},BD\perp HK\)
Vậy tam giác BHK cân tại B và BC là trung trực của HK.
b) Vì AM là đường kính nên \(\widehat{ACM}=90^o\).
\(\widehat{ABC}=\widehat{AMC}\) (cùng chắn cung AC)
Xét hai tam giác ABD và AMC có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{D}=\widehat{C}=90^o\\\widehat{ABD}=\widehat{AMC}\end{matrix}\right.\) Vậy tam giác ABD đồng dạng với tam giác AMC (g.g).
Ta có từ giác BFEC nội tiếp ( vì có góc BFC = BEC = 90 độ).
Suy ra góc ABC = AEF => góc AEF = góc AMC.
Mà \(\widehat{AMC}+\widehat{CAM}=90^o\Rightarrow\widehat{AEF}+\widehat{CAM}=90^o\\ \Rightarrow AO\perp EF.\)
d) Xét hai tam giác AEQ và AMC đồng dạng ta sẽ có được AQ.AM = AE.AC.
