Cho \(x>0\), \(y>0\)và \(x+y\le1\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
2
DT
5 tháng 6 2015
\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)
ta có\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)
Áp dụng bất đẳng thức côsin cho 2 số dương , ta có:
\(2\sqrt{xy}\le x+y\le1\Leftrightarrow2xy\le\frac{1}{2}\)
Để A đạt GTNN thì \(\left(x+y\right)^2\)va\(2xy\) phai dat GTLN
\(\Rightarrow A\ge\frac{4}{1}+\frac{1}{2}\Leftrightarrow A\ge\frac{9}{2}\)
\(a=\frac{9}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
5 tháng 12 2018
ĐK: x khác 0
Từ\(2x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{1}{x^2}=4\)
\(\Rightarrow x^2+2+\frac{1}{x^2}+x^2+xy+\frac{y^2}{4}=6+xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(x+\frac{y}{2}\right)^2=6+xy\)
Do VT > 0\(\Rightarrow6+xy\ge0\Rightarrow xy\ge6\)
Có A = 2016 + xy > 2016 + 6 = 2022
29 tháng 1 2019
tth : Viết nhầm :V
Đoạn cuối \(6+xy\ge0\Rightarrow xy\ge-6\)
Có A = 2016 + xy > 2016 - 6 = 2010 !!!
Được rồi chứ gì -.-
BD
0
DT
Cho \(x>0,y>0\)thỏa mãn\(x+y\le1\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của: \(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy\)
2
2 tháng 5 2020
\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(\frac{1}{4xy}+4xy\right)+\frac{5}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{\frac{1}{4xy}.4xy}+\frac{5}{4.\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}\)
\(=4+2+5=11\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = \(\frac{1}{2}\)
LS
Lê Song Phương
CTVHS
17 tháng 10 2023
\(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{4xy}+4xy+\dfrac{5}{4xy}\)
\(\ge\dfrac{4}{x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{\dfrac{1}{4xy}.4xy}+\dfrac{5}{4.\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}}\)
\(\ge\dfrac{4}{1^2}+2+\dfrac{5}{1^2}\) (do \(x+y\le1\))
\(=11\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)
Vậy GTNN của A là 11.
Áp dụng BĐT svacxơ, ta có
\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)
Dấu = xảy ra <=>x=y=1/2
^_^