Tìm GTNN của biểu thức sau :
\(P=\left|xy+yz+zx-14094\right|+\left(9x-6y\right)^{2016}+\left(5y-2z\right)^{2018}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 1 2020
Lời giải:
Ta thấy:
$(7x-5y)^{2018}\geq 0, \forall x,y$
$(3x-2z)^{2020}\geq 0, \forall x,z$
$(xy+yz+xz-4500)^{2022}\geq 0, \forall x,y,z$
Do đó để tổng $(7x-5y)^{2018}+(3x-2z)^{2020}+(xy+yz+xz-4500)^{2022}=0$ thì:
$(7x-5y)^{2018}=(3x-2z)^{2020}=(xy+yz+xz-4500)^{2022}=0$
$\Leftrightarrow$ \(\left\{\begin{matrix} 7x=5y(1)\\ 3x=2z(2)\\ xy+yz+xz=4500(3)\end{matrix}\right.\)
Từ $(1);(2)\Rightarrow y=\frac{7}{5}x; z=\frac{3}{2}x$
Thay vào $(3)$:
$x.\frac{7}{5}x+\frac{7}{5}x.\frac{3}{2}x+x.\frac{3}{2}x=4500$
$\Leftrightarrow x^2=900\Rightarrow x=\pm 30$
Nếu $x=30\Rightarrow y=42; z=45$
Nếu $x=-30\Rightarrow y=-42; z=-45$
PN
22 tháng 8 2020
thiếu điều kiện là \(x+y+z\le\frac{3}{2}\)bạn nhớ bổ sung
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số ,ta có :
\(\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}.\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}.\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}}\)
\(=3\sqrt[3]{\frac{z\left(xy+1\right)^2.x\left(yz+1\right)^2.y\left(xz+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right).z^2\left(zx+1\right).x^2\left(xy+1\right)}}=3\sqrt[3]{\frac{xyz\left(xy+1\right)^2\left(yz+1\right)^2\left(zx+1\right)^2}{x^2y^2z^2\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}}\)
\(=3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}}=3\sqrt[3]{\left(\frac{xy+1}{x}\right)\left(\frac{yz+1}{y}\right)\left(\frac{zx+1}{z}\right)}\)
Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số ,ta được :
\(3\sqrt[3]{\left(\frac{xy+1}{x}\right)\left(\frac{yz+1}{y}\right)\left(\frac{zx+1}{z}\right)}=3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\left(2\sqrt{y.\frac{1}{x}}\right)\left(2\sqrt{z.\frac{1}{y}}\right)\left(2\sqrt{x.\frac{1}{z}}\right)}=3\sqrt[3]{\left(2\sqrt{\frac{y}{x}}\right).\left(2\sqrt{\frac{z}{y}}\right).\left(2\sqrt{\frac{x}{z}}\right)}\)
\(=3\sqrt[3]{2.2.2.\sqrt{\frac{y}{x}}.\sqrt{\frac{z}{y}}.\sqrt{\frac{x}{z}}}=3\sqrt[3]{8.\sqrt{\frac{xyz}{xyz}}}=3\sqrt[3]{8}=3.2=6\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
Vậy \(P_{min}=6\)đạt được khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
18 tháng 2 2020
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(P\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz\left(xy+1\right)^2.\left(yz+1\right)^2.\left(zx+1\right)^2}{x^2y^2z^2\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}}=3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}}=A\)
Ta có \(A=3\sqrt[3]{\left(\frac{xy+1}{x}\right)\left(\frac{yz+1}{y}\right)\left(\frac{zx+1}{z}\right)}=3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(A\ge3\sqrt[3]{8\sqrt{\frac{xyz}{xyz}}}=3.2=6\)
\(\Rightarrow P\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=\(\frac{1}{2}\)
18 tháng 2 2020
Làm tiếp bài ღ๖ۣۜLinh's ๖ۣۜLinh'sღ] ★we are one★ chớ hình như bị ngược dấu ó.Do mình gà nên chỉ biết cô si mù mịt thôi ạ
\(3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\)
\(=3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}\right)\left(z+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4y}\right)\left(x+\frac{1}{4z}+\frac{1}{4z}+\frac{1}{4z}+\frac{1}{4z}\right)}\)
\(\ge3\sqrt[3]{5\sqrt[5]{\frac{y}{256x^4}}\cdot5\sqrt[5]{\frac{z}{256y^4}}\cdot5\sqrt[5]{\frac{x}{256z^4}}}\)
\(=3\sqrt[3]{125\sqrt[5]{\frac{xyz}{256^3\left(xyz\right)^4}}}\)
\(=15\sqrt[3]{\sqrt[5]{\frac{1}{256^3\left(xyz\right)^3}}}\)
\(\ge15\sqrt[15]{\frac{1}{256^3\cdot\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^9}}\)
\(\ge15\sqrt[15]{\frac{1}{256^3\cdot\frac{1}{2^9}}}=\frac{15}{2}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
PN
6 tháng 8 2020
Bài này thì AM-GM thôi
\(P=\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(zx+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\)
Sử dụng BĐT AM-GM cho 3 số không âm ta có :
\(\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)^2}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(zx+1\right)}{x^2\left(xy+1\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz\left(xy+1\right)^2\left(yz+1\right)^2\left(zx+1\right)^2}{x^2y^2z^2\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}}\)
\(=3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}}=3\sqrt[3]{\left(\frac{xy+1}{x}\right)\left(\frac{yz+1}{y}\right)\left(\frac{zx+1}{z}\right)}\)
\(=3\sqrt[3]{\left(\frac{xy}{x}+\frac{1}{x}\right)\left(\frac{yz}{y}+\frac{1}{y}\right)\left(\frac{zx}{z}+\frac{1}{z}\right)}=3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\)
Tiếp tục sử dụng AM-GM cho 2 số không âm ta được :
\(3\sqrt[3]{\left(2\sqrt[2]{y\frac{1}{x}}\right)\left(2\sqrt[2]{z\frac{1}{y}}\right)\left(2\sqrt[2]{x\frac{1}{z}}\right)}\ge3\sqrt[3]{\left(2\sqrt{\frac{y}{x}}\right)\left(2\sqrt{\frac{z}{y}}\right)\left(2\sqrt{\frac{x}{z}}\right)}\)
\(=3\sqrt[3]{8\left(\sqrt{\frac{y}{x}}.\sqrt{\frac{z}{y}}.\sqrt{\frac{x}{z}}\right)}=3\sqrt[3]{8.\sqrt{\frac{xyz}{xyz}}}=3\sqrt[3]{8}=3.2=6\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
Vậy \(Min_P=6\)đạt được khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
DH
27 tháng 4 2017
Với mọi giá trị của \(x;y;z\in R\) ta có:
\(\left|7x-5y\right|\ge0;\left|2z-3x\right|\ge0;\left|xy+yz+zx-500\right|\ge0\)
\(\Rightarrow\left|7x-5y\right|+\left|2z-3x\right|+\left|xy+yz+zx-500\right|\ge0\)
\(\Rightarrow\left|7x-5y\right|+\left|2z-3x\right|+\left|xy+yz+zx-500\right|+2016\ge2016\)
Hay \(A\ge2016\) với mọi giá trị của \(x;y;z\in R\)
Để A=2016 thì \(\left|7x-5y\right|+\left|2z-3x\right|+\left|xy+yz+zx-500\right|+2016=2016\)
\(\Leftrightarrow\left|7x-5y\right|+\left|2z-3x\right|+\left|xy+yz+zx-500\right|=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|7x-5y\right|=0\\\left|2z-3x\right|=0\\\left|xy+yz+zx-500\right|=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x-5y=0\\2z-3x=0\\xy+yz+zx-500=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x=5y\\2z=3x\\xy+yz+zx=500\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}21x=15y=14z\\xy+yz+zx=500\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{21x}{630}=\dfrac{15y}{630}=\dfrac{14z}{630}\\xy+yz+zx=500\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{30}=\dfrac{y}{42}=\dfrac{z}{45}\\xy+yz+zx=500\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\dfrac{x}{30}=\dfrac{y}{42}=\dfrac{z}{45}=k\left(k>0\right)\Rightarrow x=30k;y=42k;z=45k\)(1)
Thay(1) vào (2) ta có:
\(30k.42k+42k.45k+45k.30k=500\)
\(\Rightarrow1260k^2+1890k^2+1350k^2=500\)
\(\Rightarrow\left(1260+1890+1350\right)k^2=500\)
\(\Rightarrow4500k^2=500\Rightarrow k^2=\dfrac{1}{9}\Rightarrow k=\pm\dfrac{1}{3}\)
Vì k>0 nên \(k=\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{1}{3}.30=10;y=\dfrac{1}{3}.42=14;z=\dfrac{1}{3}.45=15\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 2016 đạt được khi và chỉ khi x=10; y=14; z=15
Chúc bạn học tốt nha!!
27 tháng 4 2017
Nhật LinhVõ Đông Anh Tuấnsoyeon_Tiểubàng giải
Silver bullet Hoàng Thị Ngọc AnhPhương An
gtnn của p=0
giải chi tiết