Question

[Công Chúa Mắt Tím]

Cho tứ giác ABCD có AM = 2/3 AB.CN = 2/3 CD.Nối AN cắt DM tại I,nối CM cắt BN tại K.Hãy chứng tỏ \(S_{_{MKNI}}=S_{AID}+S_{BKC}\)

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

Nối AC, DB.

Ta thấy tam giác BMC và BAC có chung chiều cao hạ từ C và \(BM=\frac{1}{3}BA\Rightarrow S_{BMC}=\frac{1}{3}S_{BAC}\) 

Tương tự ta cũng có \(DN=\frac{1}{3}DC\Rightarrow S_{DNA}=\frac{1}{3}S_{DCA}\)

\(\Rightarrow S_{BMC}+S_{DNA}=\frac{1}{3}\left(S_{BAC}+S_{DCA}\right)=\frac{1}{3}S_{ABCD}\)   (1)

Lại có tam giác MAD và BAD có chung chiều cao hạ từ D và \(AN=\frac{2}{3}AB\Rightarrow S_{MAD}=\frac{2}{3}S_{BAD}\)

Tương tự ta cũng có \(CN=\frac{2}{3}CD\Rightarrow S_{CNB}=\frac{2}{3}S_{CDB}\)

\(\Rightarrow S_{MAD}+S_{CND}=\frac{2}{3}\left(S_{BAD}+S_{CDB}\right)=\frac{2}{3}S_{ABCD}\)

Mà \(S_{MAD}+S_{CND}=S_{ABCD}-S_{BMDN}\Rightarrow S_{BMDN}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(S_{BMC}+S_{DNA}=S_{BMDN}\)

\(\Rightarrow S_{BMK}+S_{BKC}+S_{IND}+S_{AID}=S_{BMK}+S_{IND}+S_{MINK}\)

\(\Rightarrow S_{BKC}+S_{AID}=S_{MINK}\left(đpcm\right)\)