Question

[Hồng Hạnh Phạm]

Cho a, b là các số thực thỏa mãn : \(a^3-3a^2+5a-17\)\(=0\) và \(b^3-3b^2+5b+11=0\). Tính \(a+b\)

Answer 1

[Mr Lazy]

Xét phương trình 

\(x^3-3x^2+5x-17=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^3+2\left(x-1\right)-14=0\text{ }\left(1\right)\)

Chứng minh (1) có 1 nghiệm duy nhất: 

+Phương trình bậc ba luôn có tối thiểu 1 nghiệm

+Giả sử (1) có 1 nghiệm là \(x=a\)

Nếu \(x>a\) thì \(x-1>a-1\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^3>\left(a-1\right)^3\\x-1>a-1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^3+2\left(x-1\right)-14>\left(a-1\right)^3+2\left(a-1\right)-14=0\) => (1) vô nghiệm

Nếu \(x< a\), tương tự, (1) cũng vô nghiệm.

Vậy (1) có duy nhất 1 nghiệm 

Xét phương trình 

\(y^3-3y^2+5y+11=0\text{ }\left(2\right)\)\(\Leftrightarrow\left(2-y\right)^3-3\left(2-y\right)^2+5\left(2-y\right)-17=0\)

Đây chính là phương trình (1) nhưng với biến \(2-y\) nên có nghiệm \(2-y=a\); mà theo đề bài, nghiệm của (2) là \(y=b\)

Nên \(2-b=a\)

\(\Rightarrow a+b=2\)

Answer 2

[Nguyệt]

Xét phương trình 

x3−3x2+5x−17=0⇔(x−1)3+2(x−1)−14=0 (1)

Chứng minh (1) có 1 nghiệm duy nhất: 

+Phương trình bậc ba luôn có tối thiểu 1 nghiệm

+Giả sử (1) có 1 nghiệm là x=a

Nếu x>a thì x−1>a−1⇒{

(x−1)3>(a−1)3

x−1>a−1

⇒(x−1)3+2(x−1)−14>(a−1)3+2(a−1)−14=0 => (1) vô nghiệm

Nếu x<a, tương tự, (1) cũng vô nghiệm.

Vậy (1) có duy nhất 1 nghiệm 

Xét phương trình 

y3−3y2+5y+11=0 (2)⇔(2−y)3−3(2−y)2+5(2−y)−17=0

Đây chính là phương trình (1) nhưng với biến 2−y nên có nghiệm 2−y=a; mà theo đề bài, nghiệm của (2) là y=b

Nên 2−b=a

⇒a+b=2