K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

28 tháng 11 2017

ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2006}\)    (x;y;z khác 0)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)(vì x+y+z=2006)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x+y+z}-\frac{1}{z}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{z-\left(x+y+z\right)}{\left(x+y+z\right).z}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{-\left(x+y\right)}{\left(x+y+z\right).z}\)

\(\Leftrightarrow-\left(x+y\right)xy=\left(x+y\right)\left(xz+yz+z^2\right)\)  (vì x;y;z khác 0)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(xy+yz+xz+z^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)

=>  x+y=0 hoặc y+z=0 hoặc z+x=0

mà x+y+z=2006 nên

z=2006 hoặc x=2006 hoặc y=2006 

=> đpcm

23 tháng 9 2018

Từ x+y+z=3 ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)

\(\frac{\Leftrightarrow xy+yz+zx}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}\)

Nhân chéo ta có:

\(\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)=xyz\)

\(\Leftrightarrow x^2y+xyz+x^2z+y^2x+y^2z+xyz+xyz+z^2y+z^2x=xyz\)

\(\Leftrightarrow x^2y+x^2z+y^2z+y^2x+z^2x+z^2y+2xyz=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2y+x^2z+y^2x+xyz\right)+\left(y^2z+z^2x+z^2y+xyz\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(xy+xz+y^2+yz\right)+z\left(xy+xz+y^2+yz\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)\left(xy+xz+y^2+yz\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)\left[\left(xy+y^2\right)+\left(xz+yz\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)\left[y\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)=0\)

Suy ra x+z=0 hoặc y+z=0 hoặc x+y=0

Với x+z=0 ta đc y=3

Với y+z=0 ta đc x=3

Với x+y=0 ta đc z=3

Từ đó suy ra đccm

22 tháng 2 2020

Ta giả sử 3 số đều =2

=>\(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\)(Đúng)

=>đpcm 

P/s : nhanh gọn lẹ :))

10 tháng 3 2020

Đặt \(A=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1\)

Không mất tính tổng quát giả sử:

\(\frac{1}{x+1}< \frac{1}{y+1}< \frac{1}{z+1}\)

Ta có

+) \(A>\frac{3}{1+x}\Leftrightarrow1>\frac{3}{1+x}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}>\frac{1}{x+1}\Leftrightarrow x+1>3\)

<=> x>2(1)

+) \(A< \frac{3}{1+z}\Leftrightarrow1< \frac{3}{1+z}\Leftrightarrow\frac{1}{3}< \frac{1}{1+z}\Leftrightarrow1+z< 3\Leftrightarrow x< 2\)(2)
Từ (1) (2) => ĐPCM

6 tháng 10 2019

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x+y+z}-\frac{1}{z}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{-x-y}{\left(x+y+z\right)z}\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{\left(x+y+z\right)z}\right)=0\)

\(+,x+y=0\Rightarrow x=-y\Rightarrow\text{đpcm}\)

\(+,\frac{1}{xy}+\frac{1}{\left(x+y+z\right)z}=0\Leftrightarrow\frac{xy+xz+yz+z^2}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\frac{x\left(y+z\right)+z\left(z+y\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(y+z\right)^2}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\Rightarrow y+z=0\Rightarrow z=-y\Rightarrow\text{đpcm}\)

\(\text{Vậy ta có điều phải chứng minh }\)

24 tháng 1 2018

Bài 1: Cho ba số x,y,z khác 0 thỏa mãn:
{xyz=11x+1y+1z<x+y+z{xyz=11x+1y+1z<x+y+z
Chứng minh rằng có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1.

{xyz=11x+1y+1z<x+y+z⇔{xyz=1xyz(1x+1y+1z)<x+y+z{xyz=11x+1y+1z<x+y+z⇔{xyz=1xyz(1x+1y+1z)<x+y+z
⇔{xyz=1xy+yz+zx<x+y+z⇔{xyz=1x+y+z−(xy+yz+zx)>0⇔{xyz=1xy+yz+zx<x+y+z⇔{xyz=1x+y+z−(xy+yz+zx)>0
Xét tích:
(x−1)(y−1)(z−1)=xyz−(xy+yz+zx)+(x+y+z)−1=x+y+z−(xy+yz+zx)>0⇒(x−1)(y−1)(z−1)>0(x−1)(y−1)(z−1)=xyz−(xy+yz+zx)+(x+y+z)−1=x+y+z−(xy+yz+zx)>0⇒(x−1)(y−1)(z−1)>0
Vậy trong 3 số x,y,zx,y,z có 1 số lớn hơn 1, 2 số nhỏ hơn 1 hoặc cả 3 số lớn hơn 1
Tuy nhiên, nếu x,y,z>1⇒xyz>1x,y,z>1⇒xyz>1. Mâu thuẫn với gt
Vậy ta có ĐPCM 

18 tháng 4 2020

Từ gt, ta có \(\left(xyz\right)^2=\left[x\left(1-x\right)\right]\left[y\left(1-y\right)\right]\left[z\left(1-z\right)\right]\)

Sử dụng BĐT AM-GM dạng \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\), ta có:

\(x\left(1-x\right)\le\frac{1}{4};y\left(1-y\right)\le\frac{1}{4};z\left(1-z\right)\le\frac{1}{4}\)

Nhân các bđt trên lại theo vế =. \(\left(xyz\right)^2\le\frac{1}{64}\)hay \(xyz\le\frac{1}{8}\)

Gọi A là số lớn nhất trong các số x(1-y);y(1-z); z(1-y)

khi đó từ gt, ta có:

\(3A\ge x\left(1-y\right)+y\left(1-z\right)+z\left(1-x\right)\)

\(=1-xyz-\left(1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz\right)\)

\(=1-xyz-\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)

\(=1-2xyz\ge\frac{3}{4}\)

từ các đánh giá trên => \(A\ge\frac{1}{4}\)

=> đpcm

1 tháng 2 2018

1/x + 1/y + 1/z = 1/3 = 1/x+y+z

<=> xy+yz+zx/xyz = 1/x+y+z

<=> (xy+yz+zx).(x+y+z) = xyz

<=> x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2+3xyz = xyz

<=> x^2y+xy^2+y^2z+zy^2+z^2x+zx^2+2xyz = 0

<=> (x+y).(y+z).(z+x) = 0

<=> x+y=0 hoặc y+z=0 hoặc z+x = 0

<=> z=3 hoặc x=3 hoặc y=3

=> ĐPCM

Tk mk nha