Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ax + by = 5c (1); by + cz = 5a (2); cz + ax = 5b (3);
Lấy (1) - (2) + (3) về theo vế có : 2ax = - 5a + 5b + 5c => 2a(x + 5) = 5(a + b + c)
=> 1/(x + 5) = 2a/5(a + b + c) (4)
Tương tự :
1/(y + 5) = 2b/5(a + b + c) (5)
1/(z + 5) = 2c/5(a + b + c) (6)
Từ (4) + (5) + (6) :
M = 1/(x + 5) + 1/(y + 5) + 1/(z + 5) = 2/5
Ta có : \(\begin{cases}x=by+cz\\y=ax+cz\\z=ax+by\end{cases}\) . Cộng các đẳng thức trên theo vế :
\(x+y+z=2\left(ax+by+cz\right)\Rightarrow\frac{x+y+z}{ax+by+cz}=2\)
Lại có : \(y=ax+cz\Rightarrow a=\frac{y-cz}{x}\Rightarrow a+1=\frac{x+y-cz}{x}\Rightarrow\frac{1}{a+1}=\frac{x}{x+y-cz}=\frac{x}{ax+by+cz}\)
Tương tự : \(\frac{1}{b+1}=\frac{y}{ax+by+cz};\frac{1}{c+1}=\frac{z}{ax+by+cz}\)
\(\Rightarrow P=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=\frac{x}{ax+by+cz}+\frac{y}{ax+by+cz}+\frac{z}{ax+by+cz}\)
\(=\frac{x+y+z}{ax+by+cz}=2\)
Ta có : \(\begin{cases}x=by+cz\\y=ax+cz\\z=ax+by\end{cases}\) . Cộng các đẳng thức trên theo vế :
\(x+y+z=2\left(ax+by+cz\right)\)\(\Rightarrow\frac{x+y+z}{ax+by+cz}=2\)
Ta có : \(y=ax+cz\Rightarrow a=\frac{y-cz}{x}\Rightarrow a+1=\frac{x+y-cz}{x}\Rightarrow\frac{1}{a+1}=\frac{x}{x+y-cz}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+1}=\frac{x}{ax+by+cz}\)
\(\Rightarrow P=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=\frac{x+y+z}{ax+by+cz}=2\)
Tương tự : \(\frac{1}{b+1}=\frac{y}{ax+by+cz}\) ; \(\frac{1}{c+1}=\frac{z}{ax+by+cz}\)
Có \(x=by+cz\)
=> \(x\left(1+a\right)=ax+x=ax+by+cz\)
=> \(\frac{1}{1+a}=\frac{x}{ax+by+cz}\)
=> \(\frac{a}{1+a}=\frac{ax}{ax+by+cz}\)
Có \(y=cz+ax\)
=> \(y\left(1+b\right)=by+y=by+cz+ax=ax+by+cz\)
=> \(\frac{1}{1+b}=\frac{y}{ax+by+cz}\)
=> \(\frac{b}{1+b}=\frac{by}{ax+by+cz}\)
Có \(z=ax+by\)
=> \(z\left(1+c\right)=cz+z=cz+ax+by=ax+by+cz\)
=> \(\frac{1}{1+c}=\frac{z}{ax+by+cz}\)
=> \(\frac{c}{1+c}=\frac{cz}{ax+by+cz}\)
=> \(M=\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}=\frac{ax}{ax+by+cz}+\frac{by}{ax+by+cz}+\frac{cz}{ax+by+cz}\)
\(=\frac{ax+by+cz}{ax+by+cz}=1\)
Vậy giá trị của M là 1
1. Phương pháp 1: ( Hình 1)
Nếu 
thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.
2. Phương pháp 2: ( Hình 2)
Nếu AB // a và AC // a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.
(Cơ sở của phương pháp này là: tiên đề Ơ – Clit- tiết 8- hình 7)
3. Phương pháp 3: ( Hình 3)
Nếu AB 
a ; AC A thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.
( Cơ sở của phương pháp này là: Có một và chỉ một đường thẳng
a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước
- tiết 3 hình học 7)
Hoặc A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một
đoạn thẳng .(tiết 3- hình 7)
4. Phương pháp 4: ( Hình 4)
Nếu tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy
thì ba điểm O; A; B thẳng hàng.
Cơ sở của phương pháp này là:
Mỗi góc có một và chỉ một tia phân giác .
* Hoặc : Hai tia OA và OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox , 
thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.
5. Nếu K là trung điểm BD, K’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K’
Là trung điểm BD thì K’ 
K thì A, K, C thẳng hàng.
(Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm)
C. Các ví dụ minh họa cho tùng phương pháp:
Phương pháp 1
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc CA
(tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trên tia Cx lấy điểm
D sao cho CD = AB.
Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng.
Gợi ý: Muốn B, M, D thẳng hàng cần chứng minh 
Do 
nên cần chứng minh 
BÀI GIẢI:
AMB và CMD có: 
AB = DC (gt).
MA = MC (M là trung điểm AC)
Do đó: AMB = CMD (c.g.c). Suy ra:
Mà (kề bù) nên .
Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của AB lấy điểm D mà AD = AB, trên tia đối
tia AC lấy điểm E mà AE = AC. Gọi M; N lần lượt là các điểm trên BC và ED
sao cho CM = EN.
Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng.
Gợi ý: Chứng minh 
từ đó suy ra ba điểm M; A; N thẳng hàng.
BÀI GIẢI (Sơ lược)
ABC = ADE (c.g.c) 
ACM = AEN (c.g.c) 
Mà 
(vì ba điểm E; A; C thẳng hàng) nên
Vậy ba điểm M; A; N thẳng hàng (đpcm)
BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 1
Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC, trên tia đối
của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và
CD.
Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A có 
. Vẽ tia Cx BC (tia Cx và điểm A ở
phía ở cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA. Trên tia đối của tia
BC lấy điểm F sao cho BF = BA.
Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng.
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm
E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC (H và K thuộc đường thẳng BC)
Gọi M là trung điểm HK.
Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng.
Bài 4: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB, kẻ
Hai tia Ax và By sao cho 
.Trên Ax lấy hai điểm C và E(E nằm giữa A và C),
trên By lấy hai điểm D và F ( F nằm giữa B và D) sao cho AC = BD, AE = BF.
Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng , ba điểm E, O, F thẳng hàng.
Bài 5.Cho tam giác ABC . Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC, vẽ các
đường thẳng song song AB và AC, các đường thẳng này cắt xy theo thứ tự tại D và E.
Chứng minh các đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.
PHƯƠNG PHÁP 2
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Trên
Các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung
điểm BD và N là trung điểm EC.
Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng.
Hướng dẫn: Xử dụng phương pháp 2
Ta chứng minh AD // BC và AE // BC.
BÀI GIẢI.
BMC và DMA có:
MC = MA (do M là trung điểm AC)
(hai góc đối đỉnh)
MB = MD (do M là trung điểm BD)
Vậy: BMC = DMA (c.g.c)
Suy ra: 
, hai góc này ở vị trí so le trong nên BC // AD (1)
Chứng minh tương tự : BC // AE (2)
Điểm A ở ngoài BC có một và chỉ một đường thẳng song song BC nên từ (1)
và (2) và theo Tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm E, A, D thẳng hàng.
Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia
AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho
D là trung điểm AN.
x=by+cz;y=ax+cz;z=ax+by
=>x+y+z=2(ax+by+cz)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y+z}{2}=ax+by+cz\)
\(\Leftrightarrow y+z=\frac{x+y+z}{2}+ax;z+x=\frac{x+y+z}{2}+by;x+y=\frac{x+y+z}{2}+cz\)
\(\Leftrightarrow\frac{y+z-x}{2}=ax;\frac{z+x-y}{2}=by;\frac{x+y-z}{2}=cz\)
\(\Leftrightarrow\frac{y+z-x}{2x}=a;\frac{z+x-y}{2y}=b;\frac{x+y-z}{2z}=c\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{1+\frac{x+y-z}{2z}}+\frac{1}{1+\frac{y+z-x}{2x}}+\frac{1}{1+\frac{z+x-y}{2y}}=\frac{1}{\frac{x+y+z}{2x}}+\frac{1}{\frac{x+y+z}{2y}}+\frac{1}{\frac{x+y+z}{2z}}\)
\(=\frac{2x}{x+y+z}+\frac{2y}{x+y+z}+\frac{2z}{x+y+z}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\)
Cộng vế với vế ta được:
\(x+y+z=2\left(ax+by+cz\right)\)
Thay thích hợp ta được:
\(x+y+z=2\left(z+cz\right)=2z\left(1+c\right)\Rightarrow1+c=\frac{x+y+z}{2z}\)
Tương tự ta có:
\(1+b=\frac{x+y+z}{2y};1+a=\frac{x+y+z}{2x}\)
Thay vào B ta có:
\(B=\sqrt{\frac{2}{\frac{x+y+z}{2x}}+\frac{2}{\frac{x+y+z}{2y}}+\frac{2}{\frac{x+y+z}{2z}}}\)
\(=\sqrt{\frac{4x}{x+y+z}+\frac{4y}{x+y+z}+\frac{4z}{x+y+z}=\frac{4\left(x+y+z\right)}{x+y+z}}\)
\(=\sqrt{4}=2\)
Đúng thì k, sai thì sửa, mai mình nộp cho cô rồi
Lời giải:
Ta có:
\(\left\{\begin{matrix} x=by+cz\\ y=ax+cz\\ z=ax+by\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x-y=by-ax\\ z=ax+by\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x-y+z=2by\Rightarrow b=\frac{x+z-y}{2y}\)
Hoàn toàn tương tự ta nhận được:
\(a=\frac{y+z-x}{2x};c=\frac{x+y-z}{2z}\)
Suy ra:
\(\left\{\begin{matrix} a+1=\frac{x+y+z}{2x}\\ b+1=\frac{x+y+z}{2y}\\ c+1=\frac{x+y+z}{2z}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2\) (ĐPCM)
