cho p và q là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng p^2 - q^2 chia hết cho 24
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PN
0
MC
5
30 tháng 6 2015
\(p^2-1=\left(p+1\right)\left(p-1\right)\)
trước hết p là số lẻ nêm p-1 và p+1 là 2 số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 2*4=8
mặt khác p>3 nên p-1 hoặc p+1 chia hết cho 3
(3;8)=1 nên suy ra đpcm
27 tháng 3 2016
vì p>3 nên p có dạng p=3k+1 hoặc p=3k+2
với p=3k+1 thì p^2-1=(p+1)(p-1)=(3k+2)3k chia hết cho 3
với p=3k+2 thì p^2-1=(p+1)(p-1)=(3k+3)(3k+1) chia hết cho 3
vậy với mọi số nguyên tố p>3 thì p^2-1 chia hết cho 3 (1)
mặt khác cũng vì p>3 nên p là số lẻ =>p+1,p-1 là 2 số chẵn liên tiếp
=>trong hai sô p+1,p-1 tồn tại một số là bội của 4
=>p^2-1 chia hết cho 8 (2)
từ (1) và (2) => p^2-1 chia hết cho 24 với mọi số nguyên tố p>3
UM
1
IL
2 tháng 1 2016
Ta có :
\(p^2-1=p^2+p-p-1=\left(p^2+p\right)-\left(p+1\right)=p\left(p+1\right)-\left(p+1\right)=\left(p+1\right)\left(p-1\right)\)
Vì p>3=> p là số lẻ => (p+1)(p-1)là 2 số chẵn liên tiếp => (p+1)(p-1) chia hết cho 8. (1)
Vì p>3 =>p có dạng : 3k+1 và 3k+2 ( k là STN )
Với p=3k+1 thì :
(p+1)(p-1) = (3k+1+1)(3k+1-1)=(3k+2).3k => (p+1)(p-1) chia hết cho 3 .
Với p=3k+2
(p+1)(p-1)=(3k+2+1)(3k+2-1)=(3k+3)(3k+1)=3(k+1)(3k+1) => (p+1)(p-1) chia hết cho 3
=> (p+1)(p-1) chia hết cho 3 . (2)
Từ (1) và (2) :
=> (p+1)(p-1) chia hết cho 24. ( Vì 3x8=24 và (3;8)=1 )
<=> p2-1 chia hết cho 24. ( p là số nguyên tố lớn hơn 3)
DV
4
21 tháng 11 2017
Theo đề bài: p là số nguyên tố lớn hơn 3
=> p là số lẻ
=> p = 2k + 1 ( \(k\in z;k>1\))
=> A = (p - 1)( p +1 ) = 2k(2k+2) = 4k(k+1)
=> A chia hết cho 8 (1)
Ta lại có: p = 3n + 1 hoặc 3n - 1 (\(n\in Z,N>1\))
=> A chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) => A chia hết cho 24
21 tháng 11 2017
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ. Do đó, p = 2k + 1 (k nguyên và k > 1) suy ra:
A = (p – 1).(p + 1) = 2k(2k + 2) = 4k(k + 1) suy ra A chia hết cho 8.
Ta có: p = 3h + 1 hoặc 3h – 1 (h nguyên và h > 1) suy ra A chia hết cho 3.
Vậy A = (p – 1)(p + 1) chia hết cho 24
PT
1
2 tháng 2 2016
p là số nguyên tố > 3 nên p không chia hết cho 3, do đó p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2.
- Nếu p = 3k + 1 thì p - 1 = 3k chia hết cho 3 -> (p - 1)(p + 1) chia hết cho 3 (1)
- Nếu p = 3k - 1 thì p + 1 = 3k chia hết cho 3 -> (p - 1)(p + 1) chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) -> (p-1)(p+1) luôn chia hết cho 3 (3)
Mặt khác, p là số nguyên tố > 3 nên p là số lẻ -> p = 2h + 1 -> (p - 1)(p + 1) = (2h + 1 - 1)(2h + 1 + 1) = 2h(2h + 2) = 4h(h +1)
h(h + 1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp -> h(h + 1) chia hết cho 2 -> 4h(h + 1) chia hết cho 8 -> (p - 1)(p + 1) chia hết cho 8 (4)
Ta lại có: 3 và 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau (5)
Từ (3), (4) và (5) -> (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 2
Lời giải:
$p>3$ và $p$ nguyên tố nên $p$ lẻ
$\Rightarrow p+1$ chẵn $\Rightarrow p+1\vdots 2(1)$
Mặt khác:
$p>3$ và $p$ nguyên tố nên $p$ không chia hết cho $3$
$\Rightarrow p=3k+1$ hoặc $p=3k+2$ với $k$ tự nhiên.
Nếu $p=3k+1$ thì $2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)\vdots 3$. Mà $2p+1>3$ nên không thể là số nguyên tố (trái đề bài)
$\Rightarrow p=3k+2$
Khi đó:
$p+1=3k+3\vdots 3(2)$
Từ $(1); (2)$, mà $(2,3)=1$ nên $p+1\vdots (2.3)$ hay $p+1\vdots 6$
Vì p và q nguyên tố > 3 nên p và q đều lẻ => p^2 và q^2 đều chia 8 dư 1 => p^2 - q^2 chia hết cho 8 (1)
Lại có p và q nguyên tố > 3 nên p và q đều ko chia hết cho 3 => p^2 và q^2 đều chia 3 dư 1 => p^2 - q^2 chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) => p^2 - q^2 chia hết cho 24 ( vì 3 và 8 nguyên tố cùng nhau )