x,y,z là các số thực không âm ,x+y+z=1
CMR : 0 <= xy+yz+zx-2xyz <= 7/27
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LH
1
7 tháng 11 2021
\(A=\left(x+y-z\right)\left(y+z-x\right)\left(z+x-y\right)\)
\(áp\) \(dụng\) \(bđt:\) \(\)\(AM-GM:a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\Leftrightarrow ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow A^2=\left(x+y-z\right)^2\left(y+z-x\right)^2\left(z+x-y^2\right)=\left(x+y-z\right)\left(y+z-x\right)\left(y+z-x\right)\left(z+x-y\right)\left(x+y-z\right)\left(z+x-y\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y-z\right)\left(y+z-x\right)\le\dfrac{\left(x+y-z+y+z-x\right)^2}{4}\le\dfrac{4y^2}{4}\le y^2\\\left(y+z-x\right)\left(z+x-y\right)\le\dfrac{\left(y+z-x+z+x-y\right)^2}{4}\le z^2\\\left(x+y-z\right)\left(z+x-y\right)\le\dfrac{\left(x+y-z+z+x-y\right)^2}{4}\le x^2\\\end{matrix}\right.\)
\(\)\(\Rightarrow A^2\le x^2y^2z^2\le\left(xyz\right)^2\Rightarrow A\le xyz\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 4 2021
\(P=xy+yz+zx-2xyz=\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)-2xyz\)
\(P=xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)+xyz\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị
Do vai trò của x;y;z là như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(z=min\left\{x;y;z\right\}\Rightarrow z\le\dfrac{1}{3}\)
\(P=xy\left(1-2z\right)+z\left(x+y\right)=xy\left(1-2z\right)+z\left(1-z\right)\)
\(P\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\left(1-2z\right)+z\left(1-z\right)=\dfrac{\left(1-z\right)^2\left(1-2z\right)}{4}+z\left(1-z\right)\)
\(P\le\dfrac{1+z^2-2z^3}{4}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{z.z.\left(1-2z\right)}{4}\le\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{27.4}\left(z+z+1-2z\right)^3=\dfrac{7}{27}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
TN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 7 2021
Lời giải:
Vì $0\leq x,y,z\leq 1$ nên:
$x(x-1)(y-1)\geq 0$
$\Leftrightarrow x^2y\geq x^2+xy-x$
Tương tự và cộng theo vế:
$x^2y+y^2z^2+z^2x+1\geq x^2+y^2+z^2+(xy+yz+xz)-(x+y+z)+1(*)$
Lại có:
$(x-1)(y-1)(z-1)\leq 0$
$\Leftrightarrow xyz-(xy+yz+xz)+(x+y+z)-1\leq 0$
$\Leftrightarrow xy+yz+xz-(x+y+z)\geq xyz-1\geq -1$ do $xyz\geq 0(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow x^2y+y^2z+z^2x+1\geq x^2+y^2+z^2$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(0,1,1); (0,0,1)$ và hoán vị.
Ta có
do x+y+z=1 và x+y+z>=0
=>x,y,z =<1
Ta có xy+yz+zx -2xyz >=xyz+xyz+xyz -2xyz =xyz >=0
dấu = xảy ra <=> 2 trong 3 số =0
*ta có x+y+z >=3 căn bậc 3(xyz) BĐT cô-si
=>xyz<=((x+y+z)^3)/27
=>-2xyz>=-2/27 (1)
Lại có xy+yz+zx <=1/3(x^2+y^2+z^2)=1/3 (2)
Từ (1) và (2) => xy+yz+zx -2xyz <=1/3-2/27 =7/27
\(\RightarrowĐPCM\)
ngược dấu