Question

[tạ tài đức]

cho tam giác ABC vuông tại A , có AB = 6cm , AC = 8cm , đường phân giác AD . 
a) tính BC , BD , DC
b) tính khoảng cách từ D đến AB 
c) tính AD

Answer 1

[Toru]

a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A: \(BC^2=AB^2+AC^2\) (đli Pythagore)

\(\Rightarrow BC^2=6^2+8^2=100\)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{100}=10\left(cm\right)\) (vì BC > 0)

Xét \(\Delta ABC\) có: \(AD\) là đường phân giác (gt)

\(\Rightarrow\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}\) (t/c) \(\Rightarrow\dfrac{BD}{3}=\dfrac{DC}{4}\)

Lại có: \(BD+DC=BC=10\left(cm\right)\) (do \(D\in BC\))            (1)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và (1), ta được:

\(\dfrac{BD}{3}=\dfrac{DC}{4}=\dfrac{BD+DC}{3+4}=\dfrac{10}{7}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BD=\dfrac{10}{7}\cdot3=\dfrac{30}{7}\left(cm\right)\\DC=\dfrac{10}{7}\cdot4=\dfrac{40}{7}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: ...

b) Gọi \(DH\bot AB=\left\{H\right\}\)

Mà: \(AC\bot AB\) (\(\Delta ABC\) vuông tại A)

nên $DH//AC$

Xét \(\Delta ABC\) có: $DH//AC$ (cmt) \(\Rightarrow\dfrac{DH}{AC}=\dfrac{BD}{BC}\) (hệ quả đli Talet)

\(\Rightarrow\dfrac{DH}{8}=\dfrac{\dfrac{30}{7}}{10}=\dfrac{3}{7}\Rightarrow DH=\dfrac{3}{7}\cdot8=\dfrac{24}{7}\left(cm\right)\)

Vậy khoảng cách từ D đến AB dài \(\dfrac{24}{7}\left(cm\right)\).

c) Vì AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)

nên \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{BAC}=\dfrac{1}{2}\cdot90^{\circ}=45^{\circ}\)

hay \(\widehat{HAD}=45^{\circ}\) (do \(H\in AB\))

Xét \(\Delta AHD\) vuông tại H có: 

+, \(\widehat{HAD}=45^{\circ}\) (cmt)

\(\Rightarrow\Delta AHD\) vuông cân tại H \(\Rightarrow AH=DH=\dfrac{24}{7}\left(cm\right)\)

+, \(AD^2=AH^2+DH^2\) (đli Pythagore)

\(\Rightarrow AD^2=\left(\dfrac{24}{7}\right)^2+\left(\dfrac{24}{7}\right)^2=2\cdot\left(\dfrac{24}{7}\right)^2\)

\(\Rightarrow AD=\sqrt{2\cdot\left(\dfrac{24}{7}\right)^2}=\dfrac{24\sqrt{2}}{7}\left(cm\right)\) (vì AD > 0)

Vậy \(AD=\dfrac{24\sqrt{2}}{7}\left(cm\right)\).

$Toru$