Question

[Hà Bảo Ngọc]

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx  + m2 + 4

a) Với m = 2 tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P)

b) Tìm tất cả giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại điểm A(x1 , y1 ) nằm bên trái trục tung và điểm B(x2, y2) nằm bên phải trục tung sao cho $\left|x_1\right|-\left|x_2\right|=3.$

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Khi m=2 thì (d): \(y=2\cdot x+2^2+4=2x+8\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=2x+8\)

=>\(x^2-2x-8=0\)

=>(x-4)(x+2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Khi x=4 thì \(y=4^2=16\)

Khi x=-2 thì \(y=\left(-2\right)^2=4\)

Vậy: (d) cắt (P) tại A(4;16); B(-2;4)

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=mx+m^2+4\)

=>\(x^2-mx-m^2-4=0\)

\(a\cdot c=1\cdot\left(-m^2-4\right)=-m^2-4< =-4< 0\forall m\)

=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt nằm ở hai phía của trục tung

A nằm bên trái trục tung nên x1<0

B nằm bên phải trục tung nên x2>0

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-m^2-4\end{matrix}\right.\)

\(\left|x_1\right|-\left|x_2\right|=3\)

=>\(\left(\left|x_1\right|-\left|x_2\right|\right)^2=3^2=9\)

=>\(x_1^2+x_2^2-2\left|x_1x_2\right|=9\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-2\left|x_1x_2\right|=9\)

=>\(m^2-2\left(-m^2-4\right)-2\left|-m^2-4\right|=9\)
=>\(m^2+2\left(m^2+4\right)-2\left(m^2+4\right)=9\)

=>\(m^2=9\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=-3\end{matrix}\right.\)