Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có a = bk
c = dk
=> \(\frac{4a+9b}{7a-6b}\)=\(\frac{4bk+9b}{7bk-6b}\)=\(\frac{b.\left(4k+9\right)}{b.\left(7k-6\right)}\)=\(\frac{4k+9}{7k-6}\)
\(\frac{4c+9d}{7c-6d}\)=\(\frac{4dk+9d}{7dk-6d}\)=\(\frac{d.\left(4k+9\right)}{d.\left(7k-6\right)}\)=\(\frac{4k+9}{7k-6}\)
=> \(\frac{4a+9b}{7a-6b}\)=\(\frac{4c+9d}{7c-6d}\)
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)\(\Rightarrow\frac{bk}{bk+b}=\frac{dk}{dk+d}\)
Xét VT \(\frac{bk}{bk+b}=\frac{bk}{b\left(k+1\right)}=\frac{k}{k+1}\left(1\right)\)
Xét VP \(\frac{dk}{dk+d}=\frac{dk}{d\left(k+1\right)}=\frac{k}{k+1}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có VT=VP -->Đpcm
b)Tiếp tục đặt như phần a ta xét VT:
\(\frac{4bk+9b}{7bk-6b}=\frac{b\left(4k+9\right)}{b\left(7k-6\right)}=\frac{4k+9}{7k-6}\left(1\right)\)
Xét VP \(\frac{4dk+9d}{7dk-6d}=\frac{d\left(4k+9\right)}{d\left(7k-6\right)}=\frac{4k+9}{7k-6}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có :VT=VP -->Đpcm
Đặt \(\frac{1}{a}=x\); \(\frac{2}{b}=y;\frac{3}{c}=z\)
=>VT = \(\frac{z^3}{x^2+z^2}+\frac{x^3}{y^2+x^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}\)
Ta có \(\frac{z^3}{x^2+z^2}=z-\frac{x^2z}{x^2+z^2}\ge z-\frac{x^2z}{2xz}=z-\frac{x}{2}\)
CMTT:
=> VT \(\ge\frac{x+y+z}{2}=\frac{3}{2}\). Dấu = khi a=1; b=2; z=3
Thôi làm luôn ( ͡° ͜ʖ ͡°)
\(\left(\frac{1}{a};\frac{2}{b};\frac{3}{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\x,y,z>0\end{cases}}\)
Và \(BDT\Leftrightarrow\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{x^2+z^2}\ge\frac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{x^3}{x^2+y^2}=x-\frac{xy^2}{x^2+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2xy}=x-\frac{y}{2}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(VT\ge x+y+z-\frac{x+y+z}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=1\Leftrightarrow a=1;b=2;c=3\)
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)
ta có : \(\frac{4a-3b}{a}=\frac{4bk-3b}{bk}=\frac{b\left(4k-3\right)}{bk}=\frac{4k-3}{k}\)
\(\frac{4c-3d}{c}=\frac{4dk-3d}{dk}=\frac{d\left(4k-3\right)}{dk}=\frac{4k-3}{k}\)
\(\Rightarrow\frac{4a-3b}{a}=\frac{4c-3d}{c}\)
Bạn có thể tham khảo cách này
Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}=x\\\frac{2}{b}=y\\\frac{3}{c}=z\end{cases}}\Rightarrow x+y+z=3\)
BĐT thành \(\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2}\ge\frac{3}{2}\left(1\right)\)
ta sẽ dùng Bđt Cói \(\frac{x^3}{x^2+y^2}=x-\frac{xy^2}{x^2+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2xy}=x-\frac{y}{2}\)
Tương tự rồi cộng lại
\(\left(1\right)\ge x+y+z-\frac{x+y+z}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu = khi \(x=y=z=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\\c=3\end{cases}}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{a}\\y=\frac{2}{b}\\z=\frac{3}{c}\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x+y+z=3\end{cases}}\)
Khi đó ta có BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(P=\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2}\ge\frac{3}{2}\)
Ta có: \(P\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2}\)
Ta cũng có: \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(=x^3+y^3+z^3+xy^2+yz^2+zx^2+x^2y+y^2z+z^2x\)
\(\ge3\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)\)
\(\Rightarrow x^2y+y^2z+z^2x\le x^2+y^2+z^2\)
Chứng minh tương tự ta có: \(xy^2+yz^2+zx^2\le x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{3}{2}\)
Dấu = khi \(x=y=z\)hay\(\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\\b=3\end{cases}}\)
dat a/b=c/d=k(k#0)
4bk+9b/7bk-6b=4dk+9d/7dk-6d
b.(4k+9)/b.(7k-6)=d.(4k+9)/d.(7k-6)
b/b=d/d
cau b lam tuong tu y het nhu vay