K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

30 tháng 8 2017

a2(1+b2)\(\ge\)2a2b;b2(1+c2)\(\ge\)2b2c;c2(1+a2)\(\ge\)2ac(cô -si 2 số)

VT\(\ge\)2(a2b+b2c+ac2)\(\ge\)2..\(3\sqrt[3]{a^2b.ac^2.b^2c}=2.3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=6abc\)

Dấu "="xảy ra <->a=b=c

30 tháng 8 2017

\(a^2\left(1+b^2\right)+b\left(1+c^2\right)+c\left(1+a^2\right)\)=\(a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\)

ta có \(a^2;b^2;c^2;a^2b^2;b^2c^2;c^2a^2\ge0\)áp dụng bất đẳng thức cói 6 số với các số dương trên ta có \(a^2+b^2+c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)\(\ge6\sqrt[6]{a^2.b^2.c^2.a^2b^2.b^2c^2.c^2a^2}\)\(=6\sqrt[6]{a^6.b^6.c^6}\)\(=6\sqrt[6]{\left(abc\right)^6}=6abc\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=ab=bc=ca =1 hoặc=0

\(VT=a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\)

\(=a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\)

\(\ge2\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\ge2.3abc=6abc\)

Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c\)

8 tháng 2 2020

Hóng đề bất mới của a.

18 tháng 9 2016

a/ \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\ge6abc\)

\(\Leftrightarrow a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\ge6abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2abc+b^2c^2\right)+\left(b^2-2abc+a^2c^2\right)+\left(c^2-2abc+a^2b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-bc\right)^2+\left(b-ac\right)^2+\left(c-ab\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy bđt được chứng minh.

18 tháng 9 2016

b/ \(a^3+b^3+c^3\ge3.\sqrt[3]{a^3.b^3.c^3}=3abc\)

NV
13 tháng 2 2020

Bạn xem lại đề, có gì đó không ổn.

Ngoài ra, ko thấy điều kiện gì cho a;b;c cả, nghĩa là a;b;c bất kì?

12 tháng 9 2016

Ta có : \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\ge6abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2abc+b^2c^2\right)+\left(b^2-2abc+a^2c^2\right)+\left(c^2-2abc+a^2b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-bc\right)^2+\left(b-ac\right)^2+\left(c-ab\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vì bđt cuối luôn đúng nên bđt ban đầu được chứng minh

Y
16 tháng 4 2019

+ \(c^2+1\ge2c\) \(\forall c\)

\(\Rightarrow a^2\left(c^2+1\right)\ge2a^2c\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow c=1\)

+ Tương tự ta có :

\(c^2\left(b^2+1\right)\ge2bc^2\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow b=1\)

\(b^2\left(a^2+1\right)\ge2ab^2\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=1\)

do đó : \(a^2\left(c^2+1\right)+c^2\left(b^2+1\right)+b^2\left(a^2+1\right)\)

\(\ge2\left(a^2c+bc^2+ab^2\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Áp dụng bđt AM-GM cho 3 số dương \(a^2c;bc^2;ab^2\) ta có :

\(a^2c+bc^2+ab^2\ge3\sqrt[3]{a^2c\cdot bc^2\cdot ab^2}=3abc\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a^2c=bc^2=ab^2\Leftrightarrow a=b=c\)

Do đó : \(a^2\left(c^2+1\right)+c^2\left(c^2+1\right)+b^2\left(a^2+1\right)\)

\(\ge2\cdot3abc=6abc\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Nghĩ đơn giản ra

VT = a2 + c2a2 + c2 + b2c2 + b2 + a2b2\(6\sqrt[6]{a^6b^6c^6}\) = 6abc

7 tháng 4 2018

\(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)=a^2+b^2+c^2+a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2.\)

áp dụng bất đẳng thức cô si cho 6 số \(a^2,b^2,c^2,a^2b^2,b^2c^2,a^2c^2\)ta được 

\(a^2+b^2+c^2+a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\ge6\sqrt[6]{a^2.b^2.c^2.a^2b^2.b^2c^2.a^2c^2}=6\sqrt[6]{a^6.b^6.c^6}=6.abc\)

11 tháng 12 2017

a2(1+b2) + b2(1+c2) + c2(1+a2) = a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c2 + a2c2

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 6 số không âm a2, a2b2, b2, b2c2, c2, a2c2 ta được:

a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c2 + a2c2 >= 6\(\sqrt{a^6b^6c^6}\)= 6abc

=> a2(1+b2) + b2(1+c2) + c2(1+a2) >= 6abc

Dấu = xảy ra khi

a2=a2b2=b2=b2c2=c2=a2c2 

a=b=c=+-1

24 tháng 8 2018

nhiều thế, đăng ít một thôi bạn

24 tháng 8 2018

a/ \(A=\left(3+1\right)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right)...\left(3^{64}+1\right)\)

\(2A=2\left(3+1\right)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right)...\left(3^{64}+1\right)\)

\(2A=\left(3-1\right)\left(3+1\right)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right)...\left(3^{64}+1\right)\)

\(2A=\left(3^2-1\right)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right)...\left(3^{64}+1\right)\)

\(2A=\left(3^4-1\right)\left(3^4+1\right)...\left(3^{64}+1\right)\)

\(\Rightarrow2A=3^{128}-1\Rightarrow A=\dfrac{3^{128}-1}{2}\)