Question

[Nguyen Minh Thanh]

Trong một cái lọ chứa n cái kẹo. Hai bạn Lan và Khoa chơi một trò chơi như sau: Hai bạn luân phiên lấy kẹo trong lọ bỏ ra ngoài, mỗi lần chỉ được lấy từ 1 - 5 cái kẹo. Người được lấy cái kẹo cuối cùng trong lọ là người thắng cuộc. Nếu Lan là người lấy trước, hãy chỉ ra cách chơi để Lan thắng:
a, Với n = 10
b, Với n = 74 

Answer 1

[Lê Song Phương]

 Ta phân tích các trường hợp nhỏ sau:

 Nếu trên bàn có từ 1 đến 5 cái kẹo thì hiển nhiên Lan sẽ lấy hết số kẹo đó và thắng.

 Nếu trên bàn có 6 cái kẹo thì sao? Cho dù Lan đi như thế nào cũng sẽ thua vì Lan chỉ được bốc 1 đến 5 viên nên Lan sẽ luôn chừa lại ít nhất 1 viên và nhiều nhất 5 viên cho Khoa và do đó Lan thua.

 Nếu trên bàn có từ 7 đến 11 viên? Khi đó Lan sẽ bốc kẹo sao cho trên bàn chỉ còn lại 6 viên - chính là trường hợp ban nãy nhưng người bốc lúc này là Khoa - người mà chắc chắn sẽ thua do phân tích ở trên => Lan thắng.

 Nếu trên bàn có 12 viên? Khi đó dù Lan bốc thế nào thì Khoa cũng sẽ bốc kẹo để đưa số kẹo trên bàn lại về 6 viên => Lan thua.

 Như vậy, ta dễ dàng rút ra được quy luật: Nếu tại thời điểm Lan bốc kẹo, số kẹo trên bàn là bội số của 6 thì Lan thua và ngược lại.

 a) Với trường hợp \(n=10\), khi đó Lan chỉ cần bốc 4 viên để số kẹo trên bàn còn lại 6 viên => Lan thắng theo phân tích trên.

 b) Với trường hợp n quá lớn như trên thì ta cần nhớ dãy số chia hết cho 6 sau: \(6\rightarrow12\rightarrow18\rightarrow24\rightarrow...\). Do vậy, khi \(n=74\), Lan cần phải bốc 2 viên kẹo để chuyển số kẹo về 72 là một bội của 6. Khi đó dù Khoa bốc thế nào thì Lan vẫn có thể đưa số kẹo về một bội khác của 6 (chẳng hạn ở lượt tiếp theo Khoa bốc 5 viên, đưa số kẹo về 67 thì Lan chỉ cần bốc 1 viên để đưa số kẹo về 66 là một bội của 6). Cứ tiếp tục như vậy, thì Lan là người sẽ đưa số kẹo về 6 và là người giành chiến thắng.