Cho tam giác ABC trọng tâm G trực tâm H đường tròn ngọai tiếp O . Chứng minh rằng G , H < O thẳng hàng
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
15 tháng 4 2016
Cho tam giác ABC có trực tâm H , trọng tâm G , O là tâm đường tròn
ngoại tiếp , I là trung điểm BC , AD là đường kính của (O) .
Chứng minh H , G , O thẳng hàng ?
Giải :
Ta có : góc DCA = góc DBA = 90 độ ( góc nội tiếp chắn 1/2 (O))
Xét tứ giác BHCD ta có :
BH // DC ( vì cùng vuông góc với AC )
CH // DB ( vì cùng vuông góc với AB )
Do đó tứ giác BHCD là hình bình hành .
===> H , I , D thẳng hàng và IH = ID (t/c đường chéo hbhành)
Ta lại có : OI = 1/2 AH ( đ.trung bình tam giác DAH ) (1)
GI = 1/2 GA (t/chất trọng tâm của ABC ) (2)
góc HAG = góc GIO ( so le trong vì AH // OI ) (3)
Do đó tam giác GAH đồng dạng tam giác GIO ( c.g.c)
===> góc HGA = góc IGO (góc tương ứng của 2 t.giác đ.dạng )
Vì góc HGA và góc IGO là 2 góc ở vị trí đối đỉnh bằng nhau nên ta suy ra H , G , O thẳng hàng .
Vậy trong 1 tam giác trực tâm , trọng tâm , tâm đường tròn ngoại tiếp cùng nằm trên 1 đường thẳng đó là đường thẳng Euler !
10 tháng 2 2018
Dễ dàng chứng minh được HCDB là hình bình hành ( 2 cặp cạnh đối song song )
=> HA + HD = HO + OA + HO + OD = 2HO + ( OA + OD ) = 2HO (1)
Có : OA = OH + HA
OB = OH + HB
OC = OH + HC
=> OA + OB + OC = 3.OH + HA + HB + HC = 3. OH + HA + HD (2)
(1) (2) => OA + OB +OC = 3.OH + 2HO = OH (3)
G là trọng tâm tam giác ABC => OA + OB + OC = 3.OG (4)
(3) (4) => OH = 3.OG => OH, OG cùng phương => O, G, H thẳng hàng ( đpcm )
:A
18 tháng 3 2016
Đặt \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OH}\)
Ta sẽ chứng minh \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{O}\)
Gọi A1, B1, C1 theo thứ tự là hình chiếu của A, B, C ( cũng là hình chiếu của H) trên các đường thẳng BC, CA, AB và gọi Ao, Bo, Co theo thứ tự là trung điểm BC, CA, AB (như hình vẽ)
Chiếu vectơ \(\overrightarrow{u}\) lên đường thẳng BC theo phương của \(\overrightarrow{AH}\) ta được
\(\overrightarrow{u_a}=\overrightarrow{A_oA_1}+\overrightarrow{A_oB}+\overrightarrow{A_oC}-\overrightarrow{A_oA_1}=\overrightarrow{O}\)
Suy ra \(\overrightarrow{u}\) cùng phương với \(\overrightarrow{AH}\) (1)
Tương tự như vậy,
ta cũng có \(\overrightarrow{u}\) cùng phương với \(\overrightarrow{BH,}\overrightarrow{CH}\) (2)
Từ (1) và (2) và do các vectơ \(\overrightarrow{AH,}\), \(\overrightarrow{BH},\overrightarrow{CH}\) đôi một không cùng phương suy ra \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{O}\)
Vậy \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}\)
Nhưng \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}\) nên \(\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}\)
Do đó G, H, O thẳng hàng
T
10 tháng 8 2016
Bài này là chứng minh đường thẳng ơ le.
cách 1:
Gọi E,FE,F lần lượt là trung điểm của BC,AC. Ta có EF là đường trung bình của tam giác ABC nên EF//AB.
Ta lại có OF//BH(cùng vuông góc với ACA). Do đó : ˆOFE=ˆABH
Tương tự ˆOEF=ˆBAH
Từ đó ta có tam giác ABH đồng dạng với tam giác EFO
Suy ra AH/OE=AB/EF=2
mà AG/GE=2.
Do đó: AG/EG=AH/OE=2
mà ˆHAG=ˆOEG
⇒ΔHAG∼ΔEOG⇒ˆHGA=ˆEGO
nên ˆHGA+ˆAGO=ˆHGO=180
Vậy H,G,O thẳng hàng.
C2 : dùng véc tơ để tính
C3: dựng đường tròn 9 điểm => ...
10 tháng 8 2016
Ta có : góc DCA = góc DBA = 90 độ ( góc nội tiếp chắn \(\frac{1}{2}\) (O))
Xét tứ giác \(BHCD,\) ta có : \(BH\) // \(DC\) ( vì cùng vuông góc với \(AC\))
\(CH\)// \(DB\) ( vì cùng vuông góc với AB )
Do đó tứ giác \(BHCD\) là hình bình hành .
\(\Rightarrow\) \(H,\)\(I,\)\(D\) thẳng hàng và \(IH=ID\) (tính chất đường chéo hình bình hành)
Ta lại có : \(OI=\frac{1}{2}AH\) ( đường trung bình tam giác \(DAH\) ) \(\left(1\right)\)
\(GI=\frac{1}{2}GA\) (tính chất trọng tâm của \(ABC\) ) \(\left(2\right)\)
Góc\(HAG\) = góc \(GIO\) ( so le trong vì \(AH\) // \(OI\) ) \(\left(3\right)\)
Do đó tam giác \(GAH\) đồng dạng tam giác \(GIO\) ( c.g.c)
\(\Rightarrow\) góc \(HGA\) = góc \(IGO\) (góc tương ứng của 2 tam giác đồng dạng )
Vì góc \(HGA\) và góc \(IGO\) là 2 góc ở vị trí đối đỉnh bằng nhau nên ta suy ra \(H,\) \(G,\)\(O,\)thẳng hàng .
Vậy trong 1 tam giác trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp cùng nằm trên 1 đường thẳng đó là đường thẳng Euler !
10 tháng 6 2021
đề bài hỏi 1 kiểu trả lời kiểu khác (chắc copy nhầm ak bn?)
LN
31 tháng 3 2019
https://olm.vn/hoi-dap/detail/215867258818.html bài này mik giải rồi
5 tháng 9 2023
a: Xét (O) có
ΔABD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó: ΔABD vuông tại B
=>BD vuông góc AB
=>BD//CH
Xét (O) có
ΔACD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó: ΔACD vuông tại C
=>AC vuông góc CD
=>CD//BH
Xét tứ giác BHCD có
BH//CD
BD//CH
Do đó: BHCD là hình bình hành
b: BHCD là hình bình hành
=>BC cắt HD tại trung điểm của mỗi đường
=>I là trung điểm của HD
Xét ΔHDA có
I,O lần lượt là trung điểm của DH,DA
=>IO là đường trung bình
=>IO//AH và IO=AH/2
=>AH=2IO
Gọi M là trung điểm của cạnh BC
O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay O là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC.
\(\Rightarrow OA=OC\)
Trên tia đối của OA lấy D sao cho OA = OD.
Lúc đó thì OC = OD = OA
\(\Rightarrow\Delta ACD\)vuông tại C ( do có đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền)
\(\Rightarrow DC\perp AC\).Kết hợp với \(BH\perp AC\left(gt\right)\Rightarrow BH//CD\)
Tương tự ta có: \(BD//HC\)
Xét \(\Delta BHC\)và \(\Delta CDB\)có:
\(\widehat{HBC}=\widehat{DCB}\)(\(BH//CD,slt\))
BC: cạnh chung
\(\widehat{HCB}=\widehat{DBC}\)(\(BD//HC,slt\))
Do đó \(\Delta BHC\)\(=\Delta CDB\left(g-c-g\right)\)
\(\Rightarrow BH=CD\)(hai cạnh tương ứng)
Xét \(\Delta BHM\)và \(\Delta CDM\)có:
BM = CM (gt)
\(\widehat{HBM}=\widehat{DCM}\left(BH//CD,slt\right)\)
BH = CD (cmt)
Do đó \(\Delta BHM\)\(=\Delta CDM\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BMH}=\widehat{CMD}\)(hai góc tương ứng) và HM = DM (hai cạnh tương ứng)
Mà \(\widehat{BMD}+\widehat{CMD}=180^0\)(kề bù)
\(\Rightarrow\widehat{BMD}+\widehat{BMH}=180^0\Rightarrow\widehat{HMD}=180^0\)
Lúc đó thì H,M,D thẳng hàng.
Tam giác ABC có AM là trung tuyến và G là trọng tâm nên \(AG=\frac{2}{3}AM\)
\(\Rightarrow\)Tam giác AHD cũng có AM là trung tuyến và \(AG=\frac{2}{3}AM\)
\(\Rightarrow G\)là trọng tâm của tam giác AHD
Lại có HO cũng là tung tuyến của tam giác AHD nên HO đi qua G
Vậy H,O,G thẳng hàng (đpcm)