Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M, cạnh AD lấy điểm N sao cho AM = AN. Kẻ AH vuông góc vs DM và AH cắt BC tại P. chứng mình 5 điểm C,D,N,H,P cùng thuộc một đường tròn
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
26 tháng 8 2018
Xét \(\Delta\)ADM và \(\Delta\)BAP có: ^DAM = ^ABP (=900); AD = AB; ^ADM = ^BAP (Cùng phụ ^DAP)
=> \(\Delta\)ADM = \(\Delta\)BAP (g.c.g) => AM=BP (2 cạnh tương ứng) => BP=AN (Do AM=AN)
Xét tứ giác ABPN có: AN // BP; BP = AN; ^BAN = 900 => Tứ giác ABPN là hcn
=> PN vuông góc AN hay PN vuông góc DN => ^PND = 900
Xét tứ giác DNHP: ^PND = ^PHD (=900) => Tứ giác DNHP nội tiếp đg tròn đường kính DP (1)
Xét tứ giác DHPC: ^DHP = ^DCP (=900) => Tứ giác DHPC nội tiếp đg tròn đường kính DP (2)
Từ (1) và (2) => 5 điểm C;D;N;H;P cùng thuộc 1 đường tròn (đpcm).
1 tháng 4 2023
AH vuông góc DM
=>góc MAH=góc MDA
Xét ΔABP vuông tại B và ΔDAM vuông tại A có
AB=AD
góc MAH=góc MDA
=>ΔABP=ΔDAM
=>BP=AM=AN
mà BC=AD
nên PC=ND
=>PCND là hình chữ nhật
=>P,C,D,N cùng nằm trên đường tròn đường kính DP
mà H nằm trên đường tròn đường kính DP(góc DHP=90 độ)
nên C,D,N,H,P cùng thuộc 1 đường tròn
1 tháng 4 2023
Xét ΔBAN và ΔADE có
góc BAN=góc ADE
AB=AD
góc ABN=góc DAE
=>ΔBAN=ΔADE
=>AN=DE=AM
mà AB=CD
nên BM=CE
mà BM//CE
nên BMEC là hình bình hành
mà góc B=90 độ
nên BMEC là hình chữ nhật
Gọi O là giao của BE và CM
=>OB=OE=OC=OM
ΔBHE vuông tạiH có HO là trung tuyến
nên HO=OB=OE
=>HO=OC=OM
=>ΔMHC vuông tại H
=>góc MHC=90 độ
26 tháng 4 2019
\(a)\) Xét tam giác vuông ADM và tam giác vuông BAF có :
\(AD=AB\) ( do ABCD là hình vuông )
\(\widehat{DAM}=\widehat{ABF}\) \(\left(=90^0-\widehat{BAF}\right)\)
Do đó : \(\Delta ADM=\Delta BAF\) ( cạnh góc vuông - góc nhọn )
Suy ra : \(DM=AF\) ( 2 cạnh tương ứng )
Mà \(AE=AF\)(GT) \(\Rightarrow\)\(DM=AE\)
Tứ giác AEMD có : \(DM=AE\)\(;\)\(DM//AE\) ( do \(AB//CD\) ) và có \(\widehat{ADC}=90^0\) nên AEMD là hình chữ nhật
Vậy AEMD là hình chữ nhật
\(b)\) Xét \(\Delta HAB\) và \(\Delta HFA\) có :
\(\widehat{ABH}=\widehat{FAH}\) ( do \(\widehat{ABF}=\widehat{DAM}\) theo câu a ) *(góc DÂM -_- haha)*
\(\widehat{BHA}=\widehat{AHF}\) \(\left(=90^0\right)\)
Do đó : \(\Delta HAB~\Delta HFA\) \(\left(g-g\right)\)
Suy ra : \(\frac{HB}{AH}=\frac{AB}{AF}\) ( các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ )
Mà \(AB=BC;AF=AE\left(=DM\right)\) nên \(\frac{HB}{AH}=\frac{BC}{AE}\)
Lại có : \(\widehat{HAB}=90^0-\widehat{FAH}=90^0-\widehat{ABH}=\widehat{HBC}\)\(\Rightarrow\)\(\widehat{HAB}=\widehat{HBC}\)
Xét \(\Delta CBH\) và \(\Delta EAH\) có :
\(\frac{HB}{AH}=\frac{BC}{AE}\)
\(\widehat{HAB}=\widehat{HBC}\)
Do đó : \(\Delta CBH~\Delta EAH\) \(\left(c-g-c\right)\)
Vậy \(\Delta CBH~\Delta EAH\)
\(c)\) \(\Delta ADM\) có \(CN//AD\) và cắt \(AM;DM\) nên theo hệ quả định lý Ta-let ta có :
\(\frac{CN}{AD}=\frac{MN}{AM}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{AD}{AM}=\frac{CN}{MN}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{AD^2}{AM^2}=\frac{CN^2}{MN^2}\) \(\left(1\right)\)
\(\Delta ABN\) có \(CM//AB\) và cắt \(AN;BN\) nên theo hệ quả định lý Ta-let ta có :
\(\frac{MN}{AN}=\frac{MC}{AB}\) hay \(\frac{MN}{AN}=\frac{MC}{AD}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{AD}{AN}=\frac{MC}{MN}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{AD^2}{AN^2}=\frac{MC^2}{MN^2}\) \(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra : \(\frac{AD^2}{AM^2}+\frac{AD^2}{AN^2}=AD^2\left(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}\right)=\frac{CN^2}{MN^2}+\frac{MC^2}{MN^2}=\frac{CN^2+MC^2}{MN^2}=\frac{MN^2}{MN^2}=1\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{1}{AD^2}\) ( đpcm )
Vậy \(\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}\)
1 tháng 4 2023
a: ΔCAM cân tại C
=>góc CAM=góc CMA
b: góc HAM+góc CMA=90 độ
góc BAM+góc CAM=90 độ
mà góc CMA=góc CAM
nên góc HAM=góc BAM
=>ĐPCM
c: Xét ΔAHM và ΔANM có
AH=AN
góc HAM=góc NAM
AM chung
=>ΔAHM=ΔANM
=>góc AHM=góc ANM=90 độ
=>MN vuông góc AB
1 tháng 4 2023
a: BC^2=AB^2+AC^2
=>ΔABC vuông tại A
b: góc MAD+góc BAD=90 độ
góc DAH+góc BDA=90độ
góc BAD=góc BDA
=>góc MAD=góc HAD
Xét ΔAHD và ΔAMD có
AH=AM
góc HAD=góc MAD
AD chung
=>ΔAHD=ΔAMD
=>góc AMD=90 độ
Xét ΔAMN vuông tại M và ΔAHC vuông tại H có
AM=AH
góc MAN chung
=>ΔAMN=ΔAHC
=>AN=AC
=>ΔANC cân tại A
LD
29 tháng 5 2017
ĐỀ QUẬN BÌNH TÂN NĂM 2016 - 2017
a) Xét \(\Delta ABH\)và \(\Delta ACH\)ta có:
AH là cạnh chung
AB = AC ( \(\Delta ABC\)cân tại A)
BH = CH ( H là trung điểm của BC)
\(\Rightarrow\Delta ABH=\Delta ACH\left(c-c-c\right)\)
Xét \(\Delta ABC\)cân tại A ta có:
AH là đường trung tuyến ( H là trung điểm của BC)
\(\Rightarrow\)AH là đường cao của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow AH⊥BC\)tại H.
b) Xét \(\Delta BDH\)vuông tại D và \(\Delta CEH\)vuông tại E ta có:
BH = CH ( H là trung điểm của BC)
\(\widehat{DBH}=\widehat{ECH}\)(\(\Delta ABC\)cân tại A)
\(\Rightarrow\Delta BDH=\Delta CEH\left(ch-gn\right)\)
\(\Rightarrow\)BD = CE ( 2 cạnh tương ứng)
c) Ta có:
AB = AC (\(\Delta ABC\)cân tại A)
BD = CE ( cmt)
\(\Rightarrow AB-BD=AC-CE\)
\(\Rightarrow AD=AE\)
\(\Rightarrow\Delta ADE\)cân tại A
\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\frac{180^o-\widehat{DAE}}{2}\)
Mà \(\widehat{ABC}=\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\)
Nên \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\)
Mặt khác 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị
\(\Rightarrow\)DE // BC.
d) Nối A với I.
Ta có:
\(\hept{\begin{cases}HE=HM+ME\left(M\in HE\right)\\HM=EN\left(gt\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow HE=EN+ME\)
\(\Rightarrow HE=MN\)
Xét \(\Delta AEN\)vuông tại E ta có:
\(\hept{\begin{cases}AN^2=AE^2+EN^2\left(Pitago\right)\\AE=AD\left(cmt\right)\\EN=HM\left(gt\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow AN^2=AD^2+HM^2\)
\(\Rightarrow AN^2=AD^2+HI^2-MI^2\)
\(\Rightarrow AN^2=AD^2+HI^2-\left(NI^2-MN^2\right)\)
\(\Rightarrow AN^2=AD^2+HI^2-NI^2+HD^2\)
\(\Rightarrow AN^2=AD^2+HD^2+HI^2-NI^2\)
\(\Rightarrow AN^2=AH^2+HI^2-NI^2\)
\(\Rightarrow AN^2=AI^2-NI^2\)
\(\Rightarrow AI^2=AN^2+NI^2\)
\(\Rightarrow\Delta ANI\)vuông tại N ( Định lý Pitago đảo)
\(\Rightarrow IN⊥AN\)tại N.
làm tương tự
Cho hình vuông ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, M là trung điểm của OB, N là trung điểm của CD.
a, Chứng minh: +góc AMN vuông.
+A, M, N, D cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm của nó.
+ AN>MD
b, Trên AB, AD thứ tự lấy I, K sao AI=Ak. Kẻ AP vuông góc DI, cắt BC tại Q. Chứng minh 5 điểm C, D, K, P, Q cùng nằm trên một đường tròn
Bài làm
Từ M hạ ME vuông góc AD,MF vuông góc DC (ME//AB, MF//BC) , nối MA và MN ta có DM = 3/4.DB => AE = CF = 1/4 AD ( AD = DC= AB = BC cạnh hình vuông)
ME = MF = 3/4.AB, NC = 1/2.DC và CF = 1/4 DC => NF = 1/4 DC
=> tam giác vuông AEM = tam giác vuông NFM ( hai cặp cạnh góc vuông bằng nhau đôi một)
=>góc AME = góc NMF mà góc NMF + góc EMN = 90 độ => góc AME + góc EMN = 90 độ
=> góc AMN = 90 độ (điều phải cm)
Gọi I là trung điểm AN, do tam giác ADN vuông tại D =>ID= IA = IN (trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền) , tương tự có tam giác AMN vuông tại M => IM = IA = IN
=> 4 điểm A, D, N, M cách đều I => A, M, N, D cùng thuộc một đường tròn tâm là trung điểm I của đoạn AN
tam giác vuông cân DEM có DM^2 = 2.ME^2
tam giác vuông cân AMN có AN^2 = 2.MA^2 mà MA > ME
=> AN^2 > DM^2 => AN > DM (điều phải cm)
b, Trên AB, AD thứ tự lấy I, K sao AI=Ak. Kẻ AP vuông góc DI, cắt BC tại Q. Chứng minh 5 điểm C, D, K, P, Q cùng nằm trên một đường tròn
góc DPQ = 90 độ (theo cách dựng AP vuông góc DI)
và góc DCQ = 90 độ (gt ABCD là hình vuông) nên D, P, C, Q thuộc đường tròn đường kính DQ.
ta sẽ c/m K thuộc đường tròn đường kính DQ.nghĩa là góc DKQ = 90 độ
xét tứ giác IPQB có góc P và B vuông => góc PQB + góc PIB = 180 độ
mà góc góc PIB + góc PIA = 180 độ =>góc PIA =góc PQB => góc DIA = góc AQB
xét 2 tam giác vuông DAI và ABQ có AD = AB và góc DIA = góc AQB
=> tam giác DAI = tam giác ABQ ( cạnh góc vuông, góc nhọn) => AK = BQ => KQ//AB
=> góc DKQ = 90 độ => K thuộc đường tròn đường kính DQ.
=> 5 điểm C, D, K, P, Q cùng nằm trên một đường tròn ( điều phải c/m)
AH vuông góc DM
=>góc MAH=góc MDA
Xét ΔABP vuông tại B và ΔDAM vuông tại A có
AB=AD
góc MAH=góc MDA
=>ΔABP=ΔDAM
=>BP=AM=AN
mà BC=AD
nên PC=ND
=>PCND là hình chữ nhật
=>P,C,D,N cùng nằm trên đường tròn đường kính DP
mà H nằm trên đường tròn đường kính DP(góc DHP=90 độ)
nên C,D,N,H,P cùng thuộc 1 đường tròn