Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=f\left(x\right)=sin^2x+4sinx-5\) trên \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\)
A. \(-5\)
B. \(5\)
C. \(1\)
D. \(0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DH
0
TA
14 tháng 5 2016
Đặt \(t=\sin^2x\Rightarrow\begin{cases}\cos^2x=1-t\\t\in\left[0;1\right]\end{cases}\) \(\Leftrightarrow f\left(x\right)=5^t+5^{1-t}=g\left(t\right);t\in\left[0;1\right]\)
Ta có : \(g'\left(t\right)=5^t\ln5-5^{1-t}\ln5=\left(5^t-5^{1-t}\right)\ln5=0\)
\(\Leftrightarrow5^t=5^{1-t}\)
\(\Leftrightarrow t=1-t\)
\(t=\frac{1}{2}\)
Mà \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}g\left(t\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(5^t-5^{1-t}\right)=+\infty\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}g\left(t\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(5^t-5^{1-t}\right)=+\infty\)
Ta có bảng biến thiên
\(\Rightarrow\) Min \(f\left(x\right)=2\sqrt{5}\) khi \(t=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\sin^2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{1-\cos2x}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\cos2x=0\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\) \(\left(k\in Z\right)\)
TA
14 tháng 5 2016
\(0\le\sin^2x\le1\Rightarrow0,5^0\ge0,5^{\sin^2x}\ge0,5^1\)
\(\Leftrightarrow1\ge f\left(x\right)\ge\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\) Max f(x) = 1 khi \(x=k\pi\)
Min f(x) =\(\frac{1}{2}\) khi \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) \(k\in Z\)
14 tháng 5 2016
Đặt \(t=\sin^2x\) với \(t\in\left[0;1\right]\Rightarrow f\left(x\right)=0,5^t=g\left(t\right)\) với \(t\in\left[0;1\right]\)
Ta có : \(g'\left(t\right)=0,5^1\ln0,5=-0,5^t\ln2< 0\) với mọi \(t\in\left[0;1\right]\) hàm số nghịch biến với mọi \(t\in\left[0;1\right]\)
\(\Rightarrow0\le t\le1\Rightarrow g\left(0\right)\ge g\left(t\right)\ge g\left(1\right)\Leftrightarrow1\ge g\left(t\right)\ge\frac{1}{2}\)
Vậy Max f(x) = 1 khi \(x=k\pi\)
Min \(f\left(x\right)=\frac{1}{2}\) khi \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) (k thuộc Z)
2 tháng 4 2017
a) f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 1 ⇒ f’(x) = 6x2 – 6x – 12
f’(x) = 0 ⇔ x ∈ {-1, 2}
So sánh các giá trị:
f(x) = -3; f(-1) = 8;
f(2) = -19, f(52)=−332f(52)=−332
Suy ra:
maxx∈[−2,52]f(x)=f(−1)=8minx∈[−2,52]f(x)=f(2)=−19maxx∈[−2,52]f(x)=f(−1)=8minx∈[−2,52]f(x)=f(2)=−19
b) f(x) = x2 lnx ⇒ f’(x)= 2xlnx + x > 0, ∀ x ∈ [1, e] nên f(x) đồng biến.
Do đó:
maxx∈[1,e]f(x)=f(e)=e2minx∈[1,e]f(x)=f(1)=0maxx∈[1,e]f(x)=f(e)=e2minx∈[1,e]f(x)=f(1)=0
c) f(x) = f(x) = xe-x ⇒ f’(x)= e-x – xe-x = (1 – x)e-x nên:
f’(x) = 0 ⇔ x = 1, f’(x) > 0, ∀x ∈ (0, 1) và f’(x) < 0, ∀x ∈ (1, +∞)
nên:
maxx∈[0,+∞)f(x)=f(1)=1emaxx∈[0,+∞)f(x)=f(1)=1e
Ngoài ra f(x) = xe-x > 0, ∀ x ∈ (0, +∞) và f(0) = 0 suy ra
maxx∈[0,+∞)f(x)=f(0)=0maxx∈[0,+∞)f(x)=f(0)=0
d) f(x) = 2sinx + sin2x ⇒ f’(x)= 2cosx + 2cos2x
f’(x) = 0 ⇔ cos 2x = -cosx ⇔ 2x = ± (π – x) + k2π
⇔ x∈{−π+k2π;π3+k2π3}x∈{−π+k2π;π3+k2π3}
Trong khoảng [0,3π2][0,3π2] , phương trình f’(x) = 0 chỉ có hai nghiệm là x1=π3;x2=πx1=π3;x2=π
So sánh bốn giá trị : f(0) = 0; f(π3)=3√32;f(π)=0;f(3π2)=−2f(π3)=332;f(π)=0;f(3π2)=−2
Suy ra:
maxx∈[0,3π2]f(x)=f(π3)=3√32minx∈[0,3π2]f(x)=f(3π2)=−2
HP
15 tháng 8 2021
a, \(y=sin^2x-2sinx+3cos^2x\)
\(=sin^2x-2sinx+3\left(1-sin^2x\right)\)
\(=3-2sinx-2sin^2x\)
Đặt \(sinx=t\left(t\in\left[0;1\right]\right)\)
\(\Rightarrow y=f\left(t\right)=3-2t-2t^2\)
\(\Rightarrow y_{min}=min\left\{f\left(0\right);f\left(1\right)\right\}=-1\)
\(y_{max}=max\left\{f\left(0\right);f\left(1\right)\right\}=3\)
HP
15 tháng 8 2021
b, \(y=sinx-cosx+sin2x+5\)
\(=sinx-cosx-\left(sinx-cosx\right)^2+6\)
Đặt \(sinx-cosx=t\left(t\in\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\right)\)
\(\Rightarrow y=f\left(t\right)=-t^2+t+6\)
\(\Rightarrow y_{min}=min\left\{f\left(-\sqrt{2}\right);f\left(0\right)\right\}=4-\sqrt{2}\)
\(y_{max}=max\left\{f\left(-\sqrt{2}\right);f\left(0\right)\right\}=6\)
18 tháng 10 2021
Dễ thấy: \(f\left(x\right)=\left(x+m-1\right)^2-m^2+5m-6\ge-m^2+5m-6\)
Giá trị nhỏ nhất của f(x) đạt lớn nhất tức \(-m^2+5m-6\) đạt lớn nhất
Mà \(g\left(m\right)=-m^2+5m-6=-\left(m-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\le\dfrac{1}{4}\)
g(m) đạt lớn nhất khi m=5/2
m cần tìm là 5/2
20 tháng 7 2023
Ta có:
Khi \(x\in\left[-3;0\right]\) thì \(f\left(x\right)\in\left[-4;5\right]\) (dùng BBT)
Lại có:
\(y=f\left(f\left(x\right)\right)=f^2\left(x\right)+6f\left(x\right)+5\)
Khi \(f\left(x\right)\in\left[-4;5\right]\) thì \(f\left(f\left(x\right)\right)\in\left[-4;60\right]\) (dùng BBT)
Do đó, \(m=-4\Leftrightarrow f\left(x\right)=-3\Leftrightarrow x=-2\)
và \(M=60\Leftrightarrow f\left(x\right)=5\Leftrightarrow x=0\)
\(\Rightarrow S=m+M=-4+60=56\)
\(f'\left(x\right)=\left(sin^2x\right)'+4\cdot\left(sinx'\right)-5'\)
\(=2\cdot sinx\cdot cosx+4\cdot cosx=2cosx\left(sinx+2\right)\)
\(f'\left(x\right)=0\)
=>\(cosx\left(sinx+2\right)=0\)
=>\(cosx=0\)
=>\(x=\dfrac{\Omega}{2}+k\Omega\)
mà \(x\in\left[0;\dfrac{\Omega}{2}\right]\)
nên \(x=\dfrac{\Omega}{2}\)
\(f\left(\dfrac{\Omega}{2}\right)=sin^2\left(\dfrac{\Omega}{2}\right)+4\cdot sin\left(\dfrac{\Omega}{2}\right)-5\)
=1+4-5=0
\(f\left(0\right)=sin^20+4\cdot sin0-5=-5\)
=>Chọn D
Hình như \(\text{Ω}\) là \(\pi\) phải không ạ?