\(\dfrac{a}{1+a^2}\)+\(\dfrac{b}{1+b^2}\)+\(\dfrac{c}{1+c^2}\)=\(\dfrac{2}{\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 6 2021
Đề bài hình như bị sai em, thay điểm rơi ko thỏa mãn
Biểu thức là \(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\) mới đúng
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 3 2021
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
Cộng theo vế và thu gọn:
$\frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}+\frac{c+1}{c+1}\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
$\Leftrightarrow 3\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
$\Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^3$
Ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 3 2021
Bài 2:
$a^3+a^3+a^3+a^3+b^3+c^3\geq 6\sqrt[6]{a^{12}b^3c^3}=6a^2\sqrt{bc}$
$b^3+b^3+b^3+b^3+a^3+c^3\geq 6b^2\sqrt{ac}$
$c^3+c^3+c^3+c^3+a^3+b^3\geq 6c^2\sqrt{ab}$
Cộng theo vế và rút gọn thu được:
$a^3+b^3+c^3\geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
DL
1 tháng 12 2017
1) Áp dụng BĐT Cô si
ta có
\(\left(\sqrt{a+b}-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a,b\inĐK\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{a+b}.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a+b+\dfrac{1}{4}\ge\sqrt{a+b}\)
vậy ĐPCM
KK
19 tháng 5 2018
Bài 2
Áp dụng bđt Cauchy ta có \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\Rightarrow\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\le\dfrac{\sqrt{ab}}{2}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có:
\(\Rightarrow VP\le4\left(\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2}\right)=2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(1\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy ta có \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge2.2\sqrt{ab}.\dfrac{1}{2}=2\sqrt{ab}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có:
\(\Rightarrow VT\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow VT\ge VP\)
\(\Rightarrowđpcm\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 3 2019
\(a+b+c=2\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=4\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+ac+bc\right)=4\)
\(\Rightarrow ab+ac+bc=\dfrac{4-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}=\dfrac{4-2}{2}=1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+b^2=b^2+ab+ac+bc=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\\1+c^2=c^2+ab+ac+bc=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\\1+a^2=a^2+ab+ac+bc=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a\sqrt{\dfrac{\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+a^2}}=a\sqrt{\dfrac{\left(b+c\right)^2\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}=a\left(b+c\right)\)
Tương tự ta có: \(b\sqrt{\dfrac{\left(1+a^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+b^2}}=b\left(a+c\right)\)
\(c\sqrt{\dfrac{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}{1+c^2}}=c\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow A=a\left(b+c\right)+b\left(a+c\right)+c\left(a+b\right)=2\left(ab+ac+bc\right)=2\)
26 tháng 8 2021
`sqrta+sqrtb+sqrtc=2`
`<=>(sqrta+sqrtb+sqrtc)^2=4`
`<=>a+b+c+2sqrt{ab}+2sqrt{bc}+2sqrt{ca}=4`
`<=>2sqrt{ab}+2sqrt{bc}+2sqrt{ca}=4-(a+b+c)=4-2-2`
`<=>sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca}=1`
`=>a+1=a+sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca}=sqrta(sqrta+sqrtb)+sqrtc(sqrta+sqrtb)=(sqrta+sqrtb)(sqrta+sqrtc)`
Tương tự:`b+1=(sqrtb+sqrta)(sqrtb+sqrtc)`
`c+1=(sqrtc+sqrta)(sqrtc+sqrtb)`
`=>VT=sqrta/((sqrta+sqrtb)(sqrta+sqrtc))+sqrtb/((sqrtb+sqrta)(sqrtb+sqrtc))+sqrtc/((sqrtc+sqrta)(sqrtc+sqrtb))`
`=>VT=(sqrta(sqrtb+sqrtc)+sqrtb(sqrtc+sqrta)+sqrtc(sqrta+sqrtb))/((sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta))`
`=(sqrt{ab}+sqrt{ac}+sqrt{bc}+sqrt{ab}+sqrt{ac}+sqrt{bc})/((sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta))`
`=(2(sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca}))/((sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta))`
`=2/((sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta))`
`=2/\sqrt{[(sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta)]^2}`
`=2/\sqrt{(sqrta+sqrtb)(sqrta+sqrtc)(sqrtb+sqrta)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta)(sqrtc+sqrtb)}`
`=2/\sqrt{(1+a)(1+b)(1+c)}=>đpcm`
DH
26 tháng 8 2021
a ơi giả thiết là a+b+c=\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)=2 nhé a
17 tháng 11 2017
Từ \(7\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)=6\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)+2017\)
\(\Leftrightarrow7\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\le6\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)+2017\)\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\le2017\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(T=\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{\left(2+1\right)\left(2a^2+b^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{\left(2+1\right)\left(2b^2+c^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{\left(2+1\right)\left(2c^2+a^2\right)}}\)
\(\le\dfrac{1}{2a+b}+\dfrac{1}{2b+c}+\dfrac{1}{2c+a}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2^2}{2a}+\dfrac{1^2}{b}\right)+\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2^2}{2b}+\dfrac{1^2}{c}\right)+\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2^2}{2c}+\dfrac{1^2}{a}\right)\)
\(\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{3}{c}\right)\)\(=\dfrac{1}{3a}+\dfrac{1}{3b}+\dfrac{1}{3c}\le\sqrt{\left(\dfrac{1}{81}+\dfrac{1}{81}+\dfrac{1}{81}\right)\left(\dfrac{9}{a^2}+\dfrac{9}{b^2}+\dfrac{9}{c^2}\right)}\)
\(\le\sqrt{\dfrac{1}{81}\cdot3\cdot9\cdot2017}=\sqrt{\dfrac{2017}{3}}\)
Vậy \(T_{Max}=\sqrt{\dfrac{2017}{3}}\) khi \(a=b=c=\sqrt{\dfrac{3}{2017}}\)
So kimochiii~
NC
2 tháng 12 2017
1) áp dụng cauchy cho (a+b) và 1/4
\(\frac{\left(a+b\right)+\frac{1}{4}}{2}\ge\sqrt{\left(a+b\right)\cdot\frac{1}{4}}\)
\(\Rightarrow a+b+\frac{1}{4}\ge\sqrt{a+b}\) (Đẳng thức khi \(a+b=\frac{1}{4}\))
2) Ta có: \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=x^2+x+\frac{1}{4}>x\)
\(\Rightarrow\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^2>a+b=\frac{1}{\frac{1}{a}}+\frac{1}{\frac{1}{b}};\)
với x,y>0 ta có: \(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Rightarrow\frac{1}{\frac{1}{a}}+\frac{1}{\frac{1}{b}}\ge\frac{4}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)\(\Rightarrow\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^2>\frac{4}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}};\)
Tương tự với \(\left(b+c+\frac{1}{2}\right)^2\) và \(\left(c+a+\frac{1}{2}\right)^2\)Ta có:
\(\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^2+\left(b+c+\frac{1}{2}\right)^2+\left(c+a+\frac{1}{2}\right)^2\)
\(>4\left(\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}\right)\)
Không xảy ra đẳng thức (Nếu vế trái là \(\left(a+b+\frac{1}{4}\right)^2+\left(b+c+\frac{1}{4}\right)^2+\left(c+a+\frac{1}{4}\right)^2\) Thì mới xảy ra đẳng thức.
6I
1 tháng 12 2017
I. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"
1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;
2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.
3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.
Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web.
19 tháng 10 2023
Ta có VP:
\(\dfrac{2}{\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}}\)
Thay \(1=ab+bc+ca\)
\(=\dfrac{2}{\sqrt{\left(ab+bc+ca+a^2\right)\left(ab+bc+ca+b^2\right)\left(ab+bc+ca+c^2\right)}}\)
\(=\dfrac{2}{\sqrt{\left[b\left(a+c\right)+a\left(a+c\right)\right]\left[a\left(b+c\right)+b\left(b+c\right)\right]\left[b\left(a+c\right)+c\left(a+c\right)\right]}}\)
\(=\dfrac{2}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}}\)
\(=\dfrac{2}{\sqrt{\left[\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\right]^2}}\)
\(=\dfrac{2}{\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\)
_____________
Ta có VT:
\(\dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}+\dfrac{c}{1+c^2}\)
Thay \(1=ab+ac+bc\)
\(=\dfrac{a}{ab+ac+bc+a^2}+\dfrac{b}{ab+ac+bc+b^2}+\dfrac{c}{ab+ac+bc+c^2}\)
\(=\dfrac{a}{a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)}+\dfrac{b}{b\left(b+c\right)+a\left(b+c\right)}+\dfrac{c}{c\left(b+c\right)+a\left(b+c\right)}\)
\(=\dfrac{a}{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}+\dfrac{b}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{c}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)
\(=\dfrac{a\left(b+c\right)}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left(a+b\right)}+\dfrac{b\left(a+c\right)}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{c\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)
\(=\dfrac{ab+ac+ab+bc+ac+bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)
\(=\dfrac{2ab+2ac+2bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)
\(=\dfrac{2\cdot\left(ab+ac+bc\right)}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)
\(=\dfrac{2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\left(ab+ac+bc=1\right)\)
Mà: \(VP=VT=\dfrac{2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}+\dfrac{c}{1+c^2}=\dfrac{2}{\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}}\left(dpcm\right)\)
Đề thiếu điều kiện và yêu cầu. Bạn xem lại.