Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\), hai đường chéo cắt nhau tại O (hình 5). Tìm độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AO} \).
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
ND
Nguyễn Đức Trí
VIP
11 tháng 9 2023
ABCD là hình vuông
\(\Rightarrow\Delta ABD\&\Delta ACD\) là tam vuông cân
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|.\sqrt[]{2}\\\left|\overrightarrow{BD}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\sqrt[]{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|\overrightarrow{AC}\right|=\dfrac{\sqrt[]{2}}{2}.\sqrt[]{2}=1\\\left|\overrightarrow{BD}\right|=\dfrac{\sqrt[]{2}}{2}.\sqrt[]{2}=1\end{matrix}\right.\)
\(\left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{AO}\right|=\dfrac{1}{2}.\left|\overrightarrow{AC}\right|\) (O là trung điểm AC)
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{AO}\right|=\dfrac{1}{2}.1=\dfrac{1}{2}\)
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
25 tháng 9 2023
a) Ta có:
\(AC = BD = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}} = a\sqrt {10} \)
+) \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a\sqrt {10} \)
+) \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD = a\sqrt {10} \)
b) O là giao điểm của hai đường chéo nên ta có:
\(AO = OC = BO = OD = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}\)
Dựa vào hình vẽ ta thấy AO và CO cùng nằm trên một đường thẳng; BO và DO cùng nằm trên một đường thẳng
Suy ra các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng \(\frac{{a\sqrt {10} }}{2}\) là:
\(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OC} \); \(\overrightarrow {AO} \) và \(\overrightarrow {CO} \); \(\overrightarrow {OB} \) và \(\overrightarrow {OD} \); \(\overrightarrow {BO} \) và \(\overrightarrow {DO} \)
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
25 tháng 9 2023
a) \(\begin{array}{l}\overrightarrow a = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow {CB} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } \right) + \overrightarrow {BD} \\ = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD}\\ \Rightarrow |{\overrightarrow a}|= \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD = 1\end{array}\)
b) \(\begin{array}{l}\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DA} } \right)\\ = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow 0 = \overrightarrow {AC} \end{array}\)
\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \)
\(\Rightarrow |{\overrightarrow a}|= \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt 2 \)
6 tháng 11 2021
1: \(=\left|\overrightarrow{CO}-\overrightarrow{CB}\right|=BO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
24 tháng 9 2023
a) Do ABCD cũng là một hình bình hành nên \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DB} \)
\( \Rightarrow \;|\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} |\; = \;|\overrightarrow {DB} |\; = DB = a\sqrt 2 \)
b) Ta có: \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {AB} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} \)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = DB = a\sqrt 2 \)
c) Ta có: \(\overrightarrow {DO} = \overrightarrow {OB} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {DO} = \overrightarrow {DO} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {DA} \)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {DA} } \right| = DA = a.\)
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
24 tháng 9 2023
Ta có: \(|\overrightarrow {AB} | = AB\) và \(|\overrightarrow {AC} |\; = AC.\)
Mà \(AB = 3,\;AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {3^2}} = 3\sqrt 2 \)
\( \Rightarrow \;|\overrightarrow {AB} |\, = 3;\;\;|\overrightarrow {AC} |\, = 3\sqrt 2 \)
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
25 tháng 9 2023
Ta có: \(AB = BC = CD = DA = 1;\)
\(AC = BD = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \)
a) \(\overrightarrow a = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {DO} = \left( {\overrightarrow {DO} + \overrightarrow {OB} } \right) = \overrightarrow {DB} \)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = DB = \sqrt 2 \)
b) \(\overrightarrow b = \left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OA} } \right) + \left( {\overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DC} } \right)\)
\( = \left( {\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {AO} } \right) + \left( {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CD} } \right) = \left( {\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} } \right)\)
\( = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = 1\)
Chú ý khi giải:
Khi có dấu trừ phía trước ta thường thay bằng vectơ đối của nó và ngược lại
BT
12 tháng 5 2017
a) Giả sử \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}\right)+\left(\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC}\right)=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\) (đúng do tứ giác ABCD là hình bình hành).
b) \(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{FN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{CN}\)
\(=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{CN}\right)+\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{FC}\right)\).
Do các tứ giác AMOE, MOFB, OFCN, EOND cũng là các hình bình hành.
Vì vậy \(\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{FO}=\overrightarrow{BM};\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{ED}\).
Do đó: \(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{FN}=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{CN}\right)+\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{FC}\right)\)
\(=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}\right)+\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED}\right)\)
\(=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}\) (Đpcm).
24 tháng 9 2023
Tham khảo:
\(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \) do hai vectơ \(\overrightarrow {CD} ,\;\overrightarrow {BA} \) cùng hướng và \(CD = BA\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CA} \\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA\end{array}\)
Xét tam giác ABC, ta có:
\(BA = BC\) và \(\widehat {BAC} = \frac{1}{2}.\widehat {BAD} = {60^o}\)
\( \Rightarrow \Delta ABC\) đều, hay \(CA = BC = 1\)
Vậy \(\left| {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} } \right| = 1.\)
Dựa vào tính chất kết hợp, ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BA} = \left( {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CD} } \right) + \overrightarrow {BA} \\ = \left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} } \right) + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CA} .\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA = 1.\end{array}\)
Ta có: \(AC = BD = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = 1\)
\(OA = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\)
Suy ra: \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 1\), \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = 1\), \(\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = 1\), \(\left| {\overrightarrow {AO} } \right| = 1\)