Question

[Gia Khang Phạm Nguyễn]

Cho hình chữ nhật ABCD; 2 đường chéo cắt nhau tại O; E là trung diểm BC, trên tia đối EO lấy M sao cho E là trung điểm OM . Gọi I là trung điểm OB. a) Chứng minh OBMC là hình thoi và AIM thẳng hàng. b) Kẻ Mf vuông góc với DC tại F; Chứng minh MECF  là hình chữ nhật và  BMFE là hình bình hành

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: ABCD là hình chữ nhật

=>AC=BD và AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔBDC có

O,E lần lượt là trung điểm của BD,BC

=>OE là đường trung bình cuả ΔBDC

=>OE//DC và OE=DC/2

OE//DC

DC\(\perp\)BC

Do đó: OE\(\perp\)BC

=>OM vuông góc BC

Xét tứ giác OBMC có

E là trung điểm chung của OM và BC

Do đó: OBMC là hình bình hành

mà OM\(\perp\)BC

nên OBMC là hình thoi

OE=DC/2

mà AB=CD(ABCD là hình chữ nhật)

nên OE=AB/2

mà \(OE=\dfrac{OM}{2}\)

nên AB=OM

OE//CD

AB//CD

Do đó: OE//AB

=>OM//AB

Xét tứ giác ABMO có

AB//MO

AB=MO

Do đó: ABMO là hình bình hành

=>AM cắt BO tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của BO

nên I là trung điểm của AM

=>A,I,M thẳng hàng

b: Xét tứ giác CFME có

\(\widehat{MFC}=\widehat{ECF}=\widehat{MEC}=90^0\)

=>CFME là hình chữ nhật

=>MF//CE và MF=CE

MF//CE
E\(\in\)BC

Do đó: BE//MF

BE=CE

CE=MF

Do đó: BE=MF

Xét tứ giác BMFE có

BE//MF

BE=MF

Do đó: BMFE là hình bình hành