Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BC. Giả sử H là trung điểm của đoạn thẳng BM. Chứng minh:
a) \(\Delta AHB = \Delta AHM\); b) \(AG = \dfrac{2}{3}AB\).
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 9 2023
a) G là giao điểm của hai đường trung tuyến AM và BN nên G là trọng tâm tam giác ABC.
Suy ra: \(AG = 2GM\). Mà trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MG nên \(GD = 2GM\).
Vậy GA = GD (= 2GM).
b) Xét hai tam giác MBG và MCD có:
MB = MC (M là trung điểm cạnh BC)
\(\widehat {GMB} = \widehat {DMC}\)(đối đỉnh)
GM = GD.
Vậy \(\Delta MBG = \Delta MCD\)(c.g.c).
c) \(\Delta MBG = \Delta MCD\) nên BG = CD (2 cạnh tương ứng).
Mà G là trọng tâm tam giác ABC nên \(BG = 2GN\). Mà BG = CD nên \(CD = 2GN\).
13 tháng 7 2019
Bài toán 1: (Hình a)
Gọi đường thẳng qua N vuông góc với AN cắt AC tại R, qua P kẻ đường thẳng song song với BC. Đường thẳng này cắt AM,AN,BC lần lượt tại S,T,K.
Ta thấy \(\Delta\)APR có AN vừa là đường cao, đường phân giác => \(\Delta\)APR cân tại A => AP = AR, NP = NR
Áp dụng hệ quả ĐL Thales \(\frac{BM}{PS}=\frac{CM}{KS}\left(=\frac{AM}{AS}\right)\)=> PS = KS
Áp dụng ĐL đường phân giác trong tam giác: \(\frac{TK}{TP}=\frac{AK}{AP}\Rightarrow\frac{ST+SK}{TP}=\frac{AK}{AR}\)
\(\Rightarrow\frac{2ST+PT}{TP}=\frac{AR+RK}{AR}\Rightarrow\frac{2ST}{TP}=\frac{RK}{AR}\)
Dễ thấy NS là đường trung bình của \(\Delta\)RKP => RK = 2NS. Do đó \(\frac{ST}{TP}=\frac{NS}{AR}\)
Đồng thời NS // AR, suy ra \(\frac{ST}{TP}=\frac{NS}{AR}=\frac{SQ}{QA}\)=> QT // AP (ĐL Thaels đảo)
Mà AP vuông góc PO nên QT vuông góc PO. Từ đây suy ra T là trực tâm của \(\Delta\)POQ
=> QO vuông góc PT. Lại có PT // BC nên QO vuông góc BC (đpcm).
Bài toán 2: (Hình b)
Ta có IB = IC => \(\Delta\)BIC cân tại I => ^IBC = ^ICB = ^ACB/2 => \(\Delta\)MCI ~ \(\Delta\)MBC (g.g)
=> MC2 = MI.MB. Xét \(\Delta\)AHC có ^AHC = 900 , trung tuyến HM => HM = MC
Do đó MH2 = MI.MB => \(\Delta\)MIH ~ \(\Delta\)MHB (c.g.c) => ^MHI = ^MBH = ^MBC = ^MCI
=> Tứ giác CHIM nội tiếp. Mà CI là phân giác ^MCH nên (IH = (IM hay IM = IH (đpcm).
Bài toán 3: (Hình c)
a) Gọi đường thẳng qua C vuông góc CB cắt MK tại F, DE cắt BC tại Q, CG cắt BD tại I.
Áp dụng ĐL Melelaus:\(\frac{MB}{MC}.\frac{GA}{GB}.\frac{DC}{DA}=1\)suy ra \(\frac{DC}{DA}=2\)=> A là trung điểm DC
Khi đó G là trọng tâm của \(\Delta\)BCD. Do CG cắt BD tại I nên I là trung điểm BD
Dễ thấy \(\Delta\)BCD vuông cân tại B => BI = CM (=BC/2). Từ đó \(\Delta\)IBC = \(\Delta\)MCF (g.c.g)
=> CB = CF => \(\Delta\)BCF vuông cân ở C => ^CBA = ^CBF (=450) => B,A,F thẳng hàng
=> CA vuông góc GF. Từ đó K là trực tâm của \(\Delta\)CGF => GK vuông góc CF => GK // CM
Theo bổ đề hình thang thì P,Q lần lượt là trung điểm GK,CM. Kết hợp \(\Delta\)CEM vuông ở E
=> EQ=CM/2. Áp dụng ĐL Melelaus có \(\frac{GD}{GM}.\frac{EQ}{ED}.\frac{CM}{CQ}=1\)=> \(\frac{EQ}{ED}=\frac{1}{4}\)
=> \(\frac{ED}{CM}=2\)=> DE = 2CM = BC (đpcm).
b) Theo câu a thì EQ là trung tuyến của \(\Delta\)CEM vuông tại E => EQ = QC => ^QEC = ^QCE
Vì vậy ^PEG = ^QEC = ^QCE = ^PGE => \(\Delta\)EPG cân tại P => PG = PE (đpcm).
17 tháng 9 2023
a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC. M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AC, AB nên AM = AN.
Xét tam giác ABM và tam giác ACN có: AM = AN; \(\widehat A\)chung; AB = AC.
Vậy \(\Delta ABM = \Delta ACN\)(c.g.c) hay BM = CN.
b) Xét tam giác ABC có G là giao điểm của hai đường trung tuyến BM và CN nên G là trọng tâm tam giác ABC. Do đó:
\(GB = \dfrac{2}{3}BM;GC = \dfrac{2}{3}CN\). Mà BM = CN nên GB = GC.
Vậy tam giác GBC cân tại G.
21 tháng 9 2023
Tham khảo:
a) Vì tam giác ABC cân tại A theo giả thiết. BM và CN là 2 đường trung tuyến nên M, N là 2 trung điểm của AC, AB.
Vì AB = AC (tính chất tam giác cân)
\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{AC}}{2} = AN = AM\)
Xét tam giác AMB và tam giác ANC ta có :
AM = AN (cmt)
AB = AC
Góc A chung
\( \Rightarrow \Delta AMB =\Delta ANC\)
\( \Rightarrow BM = CN\) ( 2 cạnh tương ứng )
b) Vì BM và CN là các đường trung tuyến
Mà I là giao điểm của BM và CN
\( \Rightarrow \) I là trọng tâm của tam giác ABC
\( \Rightarrow \) AI là đường trung tuyến của tam giác ABC hay AH đường là trung tuyến của tam giác ABC
\( \Rightarrow \) H là trung điểm của BC
30 tháng 6 2023
a: góc ABC=2/3*90=60 độ
góc ACB=90-60=30 độ
Xét ΔABD có
AH vừa là đường cao, vừa là trung tuyến
=>ΔABD cân tại A
mà góc B=60 độ
nên ΔABD đều
b: Xét ΔDAC có góc DAC=góc DCA
nên ΔDAC cân tại D
Xét ΔDHA vuông tại H và ΔDGC vuông tại G có
DA=DC
góc HDA=góc GDC
=>ΔDHA=ΔDGC
=>DH=DG và CG=AH
c: ΔBAD cân tại B
mà BM là trung tuyến
nên BM vuông góc AC
Xét ΔDBA có
BM,AH là đường cao
BM cắt AH tại E
=>E là trực tâm
=>DE vuông góc AB
=>DE//AC
6 tháng 10 2021
\(a,\left\{{}\begin{matrix}AN=NB\\AM=MC\end{matrix}\right.\Rightarrow MN\) là đtb tam giác ABC
\(\Rightarrow MN//BC\Rightarrow BNMC\) là hình thang
\(b,\) G là giao điểm 2 trung tuyến tam giác ABC nên là trọng tâm tam giác ABC
Mà AI cũng là trung tuyến tam giác ABC nên \(G\in AI\) hay A,I,G thẳng hàng
\(c,\left\{{}\begin{matrix}AM=MC\\BI=IC\end{matrix}\right.\Rightarrow MI\) là đtb tam giác ABC \(\Rightarrow MI=\dfrac{1}{2}AB\Rightarrow2AB=MI\)
\(d,\left\{{}\begin{matrix}BH=HG\\CK=KG\end{matrix}\right.\Rightarrow HK\) là đtb tam giác BGC
\(\Rightarrow HK=\dfrac{1}{2}BC=MN\) ( MN là đtb tam giác ABC)
a) Xét tam giác AHB và tam giác AHM có:
AH chung;
\(\widehat {AHB} = \widehat {AHM}\)(H là hình chiếu của A lên BC nên \(AH \bot BC\));
HB = HM (H là trung điểm của BM).
Vậy \(\Delta AHB = \Delta AHM\)(c.g.c).
b) \(\Delta AHB = \Delta AHM\)nên AB = AM ( 2 cạnh tương ứng).
G là giao điểm của hai đường trung tuyến AM và BN nên G là trọng tâm tam giác ABC. Nên: \(AG = \dfrac{2}{3}AM\).
Mà AB = AM suy ra: \(AG = \dfrac{2}{3}AB\).