Cho Tam giác ABC nhọn đường cao AD (à thuộc BC. Gọi H là điểm thuộc đoạn AD sao cho DA.DH=DB.DC BH cắt CA tại E, CH cắt AB tại F. Chứng minh rằng: 1. Hai tam giác DAB, DCH đồng dạng và H là trực tâm của Tam giác ABC 2. AE.AC=AH.AD=AF.AB 3. AH.AD+BH.BE+CH.CF=AB^2+BC^2+AC^2/2 Giúp mình câu 3 với ạ mình cảm ơn
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
3 tháng 5 2019
1). Tam giác ABF và tam giác ACE ần lượt cân tại F, E và
F B A ^ = E C A ^ = A ^ 2 ⇒ Δ A B F ∽ Δ A C E .
2). Giả sử G là giao điểm của BE và CF.
Ta có G F G C = B F C E = A B A C = D B D C ⇒ G D ∥ F B , và F B ∥ A D ta có G ∈ A D .
3). Chứng minh B Q G ^ = Q G A ^ = G A E ^ = G A C ^ + C A E ^ = G A B ^ + B A F ^ = G A F ^ , nên AGQF nội tiếp, và Q P G ^ = G C E ^ = G F Q ^ , suy ra tứ giác FQGP nội tiếp.
26 tháng 1
1) Chứng minh rằng tam giác \( A B F \) đồng dạng với tam giác \( A C E \):
- Tam giác \(ABF\) và \(ACE\) có:
+ Góc \(A\) chung.
+ Góc \(BAF\) bằng góc \(CAE\) (vì \(AD\) là phân giác của góc \(BAC\) và \(CF\), \(BE\) song song với \(AD\)).
Do đó, tam giác \(ABF\) đồng dạng với tam giác \(ACE\) (theo trường hợp góc-góc).
2) Chứng minh rằng các đường thẳng \(BE\), \(CF\), \(AD\) đồng quy:
- Gọi \(G\) là giao điểm của \(BE\) và \(CF\).
- \(AD\) là phân giác góc \(BAC\), và \(BE\), \(CF\) song song với \(AD\). Do đó, \(G\) cũng nằm trên phân giác \(AD\).
- Vậy \(BE\), \(CF\), \(AD\) đồng quy tại \(G\).
3) Chứng minh rằng các điểm \(A\), \(P\), \(G\), \(Q\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn:
- Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác \(GEC\) là \(\omega\).
- \(QE\) cắt \(\omega\) tại \(P\) khác \(E\), vậy \(P\) nằm trên đường tròn \(\omega\).
- \(GQ\) song song với \(AE\), và \(AE\) là đường kính của \(\omega\) (vì \(E\) là trung điểm của \(AC\) và \(G\) nằm trên phân giác của \(BAC\)). Do đó, \(GQ\) là dây cung của \(\omega\).
- \(PF\) là tiếp tuyến của \(\omega\) tại \(P\) (vì \(QE\) là tiếp tuyến và \(PF\) là phần kéo dài của \(QE\)).
- Góc \(PGF\) bằng góc \(GAC\) (cùng chắn cung \(GC\) của \(\omega\)).
- \(AF\) là trung trực của \(AB\), nên \(ABF\) là tam giác cân tại \(A\). Do đó, góc \(AFB\) bằng góc \(ABF\).
- Góc \(ABF\) bằng góc \(GAC\) (do đồng dạng của tam giác \(ABF\) và \(ACE\)).
- Vậy, góc \(PGF\) bằng góc \(AFB\). Do đó, \(A\), \(P\), \(G\), \(Q\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn.
NK
30 tháng 4 2019
a, Xét tgABE và tgACF có:
góc AEB = góc CFA = 90o
góc BAC chung
Từ 2 điều trên => tgABE đồng dạng tgACF (g.g)
=> AB/AC = AE/AF (các cặp cạnh tương ứng)
=> AB.AF = AC.AE
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
24 tháng 5 2022
a) Ta có: \(\widehat{AMO}=\widehat{ADO}=\widehat{ANO}=90^o\) nên \(M,N,D\) cùng nhìn \(AO\) dưới một góc vuông suy ra \(M,D,O,N,A\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi \(F\) là giao điểm của \(AC\) và đường tròn \(\left(O\right)\).
\(\Delta ANF\sim\Delta ACN\left(g.g\right)\) suy ra \(AN^2=AC.AF\).
Xét tam giác \(AHN\) và tam giác \(AND\):
\(\widehat{HAN}=\widehat{NAD}\) (góc chung)
\(\widehat{ANH}=\widehat{ADN}\) (vì \(AMDON\) nội tiếp, \(\widehat{ANH},\widehat{ADN}\) chắn hai cung \(\stackrel\frown{AM},\stackrel\frown{AN}\) mà \(AM=AN\))
\(\Rightarrow\Delta AHN\sim\Delta AND\left(g.g\right)\)
suy ra \(AN^2=AH.AD\)
suy ra \(AC.AF=AH.AD\)
\(\Rightarrow\Delta AFH\sim\Delta ADC\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{AFH}=\widehat{ADC}=90^o\)
suy ra \(\widehat{HFC}=90^o\) mà \(\widehat{BFC}=90^o\) (do \(F\) thuộc đường tròn \(\left(O\right)\))
suy ra \(B,H,F\) thẳng hàng do đó \(BH\) vuông góc với \(AC\).
Tam giác \(ABC\) có hai đường cao \(AD,BF\) cắt nhau tại \(H\) suy ra \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\).
CM
8 tháng 3 2019
1). Gọi DE cắt (O) tại P khác D. Do AD là đường kính của (O), suy ra A P D ^ = 90 0 , mà A H E ^ = 90 0 ( do H E ∥ B C ⊥ H A ), nên tứ giác APEH nội tiếp.
Ta có A P H ^ = A E H ^ (góc nội tiếp)
= A C B ^ H E ∥ B C = A P B ^ (góc nội tiếp)
⇒ P H ≡ P B
2). Ta có H P ⊥ A C ⇒ A E H ^ = A H P ^ = A E P ^
Suy ra EA là phân giác ngoài đỉnh E của tam giác DEF
Tương tự FA là phân giác ngoài đỉnh F của tam giác DEF
Suy ra A là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh D của tam giác DEF
3). Do I là tâm nội tiếp nên EI là tia phân giác trong.
Mà EA là tia phân giác ngoài, suy ra E I ⊥ A C ⇒ E I ∥ H B
Tương tự F I ∥ H C ; E F ∥ B C ⇒ Δ I E F v à Δ H B C có cạnh tương ứng song song, nên BE; CF và IH đồng quy.
1 tháng 8 2023
Xét ΔABD vuông tại D và ΔCHD vuông tại D có
góc BAD=góc HCD
=>ΔABD đồng dạng vớiΔCHD
15 tháng 8 2023
a: Xét ΔCDA vuông tại D và ΔCEB vuông tại E có
góc DCA chung
=>ΔCDA đồng dạng với ΔCEB
=>CD/CE=CA/CB
=>CD*CB=CA*CE và CD/CA=CE/CB
b; Xét ΔCDE và ΔCAB có
CD/CA=CE/CB
góc C chung
=>ΔCDE đồng dạng với ΔCAB
c:
Xét ΔCAB có
AD,BE là đường cao
AD cắt BE tại H
=>H là trực tâm
=>CH vuông góc AB tại F
góc CEB=góc CFB=90 độ
=>CEFB nội tiếp
=>góc CEF+góc CBF=180 độ
mà góc CEF+góc AEF=180 độ
nên góc AEF=góc CBA
=>góc AEF=góc CED
3:
Xét ΔCEH vuông tại E và ΔCFA vuông tại F có
\(\widehat{FCA}\) chung
Do đó: ΔCEH đồng dạng với ΔCFA
=>CE/CF=CH/CA
=>\(CE\cdot CA=CH\cdot CF\)
Xét ΔCDH vuông tại D và ΔCFB vuông tại F có
\(\widehat{FCB}\) chung
Do đó: ΔCDH đồng dạng với ΔCFB
=>CD/CF=CH/CB
=>CD*CB=CH*CF
=>CD*CB=CH*CF=CE*CA
Xét ΔBDH vuông tại D và ΔBEC vuông tại E có
\(\widehat{EBC}\) chung
Do đó: ΔBDH đồng dạng với ΔBEC
=>BD/BE=BH/BC
=>\(BD\cdot BC=BH\cdot BE\)
Xét ΔBDA vuông tại D và ΔBFC vuông tại F có
góc DBA chung
Do đó: ΔBDA đồng dạng với ΔBFC
=>BD/BF=BA/BC
=>BD*BC=BF*BA
=>BD*BC=BF*BA=BH*BE
\(AH\cdot AD+BH\cdot BE=AF\cdot AB+BF\cdot BA=BA^2\)
\(AH\cdot AD+CH\cdot CF=AE\cdot AC+CE\cdot CA=AC^2\)
\(BH\cdot BE+CH\cdot CF=BD\cdot BC+CD\cdot CB=BC^2\)
Do đó: \(2\left(AH\cdot AD+BH\cdot BE+CH\cdot CF\right)=BA^2+AC^2+BC^2\)
=>\(AH\cdot AD+BH\cdot BE+CH\cdot CF=\dfrac{AB^2+AC^2+BC^2}{2}\)