Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác, p là nửa chu vi, cmr:
\(\dfrac{a}{p-a} + \dfrac{b}{p-b} + \dfrac{c}{p-c} >= 6\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
14 tháng 10 2021
\(A=\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}\ge\dfrac{4}{a+b-c+b+c-a}\ge\dfrac{4}{2b}\ge\dfrac{2}{b}\\\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{4}{b+c-a+c+a-b}\ge\dfrac{4}{2c}\ge\dfrac{2}{c}\\\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{4}{a+b-c+c+a-b}\ge\dfrac{4}{2a}\ge\dfrac{2}{a}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\right)\ge\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) \(dấu"="xảy\) \(ra\Leftrightarrow a=b=c\)
26 tháng 5 2021
Đặt b + c - a = x; c + a - b = y; a + b - c = z. (x, y, z > 0)
Ta có \(A=\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{4b}{c+a-b}+\dfrac{9c}{a+b-c}=\dfrac{y+z}{2x}+\dfrac{2\left(z+x\right)}{y}+\dfrac{9\left(x+y\right)}{2z}=\left(\dfrac{y}{2x}+\dfrac{2x}{y}\right)+\left(\dfrac{z}{2x}+\dfrac{9x}{2z}\right)+\left(\dfrac{9y}{2z}+\dfrac{2z}{y}\right)\ge2\sqrt{\dfrac{y}{2x}.\dfrac{2x}{y}}+2\sqrt{\dfrac{z}{2x}.\dfrac{9x}{2z}}+2\sqrt{\dfrac{9y}{2z}.\dfrac{2z}{y}}=2+3+6=11\).
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(3y=2z=6x\Leftrightarrow3\left(c+a-b\right)=2\left(b+c-a\right)=6\left(a+b-c\right)\)
\(\Leftrightarrow a=\dfrac{5}{6};b=\dfrac{2}{3};c=\dfrac{1}{2}\).
8 tháng 2 2022
Ta có :
\(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}\ge\dfrac{4}{p-a+p-b}=\dfrac{2}{c}\)
\(\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\ge\dfrac{4}{p-a+p-c}=\dfrac{2}{a}\)
\(\dfrac{1}{p-c}+\dfrac{1}{p-a}\ge\dfrac{4}{p-c+p-a}=\dfrac{2}{b}\)
Cộng từng về ta có đpcm
8 tháng 2 2022
Ta có: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)
Áp dụng:
\(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}\ge\dfrac{4}{p-a+p-b}=\dfrac{4}{2p-a-b}\)
Mà \(2p=a+b+c\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}\ge\dfrac{4}{a+b+c-a-b}=\dfrac{4}{c}\)
Tương tự \(\Rightarrow2\left(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\right)\ge\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{4}{c}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
8 tháng 3 2018
BĐT cô si: \(\dfrac{x+y}{2}>\left(hoặc=\right)\sqrt{xy}\)
=>x+y >(hoặc =) \(2\sqrt{xy}\)
=>\(\left(x+y\right)^2>\left(hoặc=\right)4xy\)
=>\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}>\left(hoặc=\right)\dfrac{4}{x+y}\)
vì P=\(\dfrac{a+b+c}{2}=>a+b+c=2p\)
=>c=2p-a-b
b=2p-a-c
a=2p-b-c
ta có:\(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}>hoặc=\dfrac{4}{p-a+p-b}=\dfrac{4}{c}\)
\(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-c}>\left(hoặc=\right)\dfrac{4}{p-a+p-c}=\dfrac{4}{b}\)
\(\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}>\left(hoặc=\right)\dfrac{4}{p-b+p-c}=\dfrac{4}{a}\)
cộng vế với vế ta đc
\(2\left(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\right)>\left(hoặc=\right)4\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
<=>\(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}>\left(hoặc=\right)2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
6 tháng 11 2018
Câu hỏi của Phạm Thị Hường - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo bài làm ở link này nhé!
15 tháng 1 2021
Bất đẳng thức cần cm tương đương:
\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\).
Mặt khác theo bđt AM - GM (Chú ý a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a + b - c > 0; b + c - a > 0; c + a - b > 0) ta có:
\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le\dfrac{\left(a+b-c+b+c-a+c+a-b\right)^3}{27}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\).
Vậy ta có đpcm.
BĐT\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{-a+b+c}+\dfrac{b}{a-b+c}+\dfrac{c}{a+b-c}\ge3\)
Áp dụng BĐT Svac-xơ, ta có:
\(\dfrac{a^2}{-a^2+ab+ac}+\dfrac{b^2}{ab-b^2+bc}+\dfrac{c^2}{ac+bc-c^2}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
Ta có: \(a,b,c\) là 3 cạnh của 1 tam giác nên:
\(a\left(b+c\right)>a^2\). Tương tự và cộng theo vế, ta có:
\(2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)>0\)
Ta sẽ chứng minh \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge3\left(1\right)\)
Thật vậy, \(BĐT\left(1\right)\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(a+b+c\right)^2\ge6\left(ab+bc+ca\right)\), đúng
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
Cách 2:
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}-a+b+c=x\\a-b+c=y\\a+b-c=z\end{matrix}\right.\) với \(x,y,z>0\)
Khi đó ta có \(a=\dfrac{y+z}{2};b=\dfrac{x+z}{2};c=\dfrac{x+y}{2}\)
BĐT cần chứng minh trở thành:
\(\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z}\ge6\), đúng theo bđt Cauchy
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\Leftrightarrow a=b=c\)