Tìm n thuộc Z để n4 + 8n3 + 17n2 + 4n + 6 là số chính phương.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
6 tháng 8 2020
Bg
a) Ta có: B = \(\frac{4n+1}{2n-3}\) (n thuộc Z)
Để B là số chính phương (scp) thì 4n + 1 chia hết cho 2n - 3 (rồi sau đó xét tiếp)
=> 4n + 1 ⋮ 2n - 3
=> 4n + 1 - 2(2n - 3) chia hết cho 2n - 3
=> 4n + 1 - (2.2n - 2.3) chia hết cho 2n - 3
=> 4n + 1 - (4n - 6) chia hết cho 2n - 3
=> 4n + 1 - 4n + 6 chia hết cho 2n - 3
=> 4n - 4n + 1 + 6 chia hết cho 2n - 3
=> 7 chia hết cho 2n - 3
=> 2n - 3 thuộc Ư(7)
Ư(7) = {1; 7; -1; -7}
Lập bảng:
| 2n - 3 = | 1 | 7 | -1 | -7 |
| n = | 2 | 5 | 1 | -2 |
| (loại vì không phải scp) | (loại) | (loại) |
Vậy n = {2; -2} thì B là số chính phương
b) Để B là phân số tối giản thì 4n + 1 không chia hết cho 2n - 3 (ta chỉ cần loại những số n trong bảng)
=> n không thuộc {2; 5; 1; -2}
c) Để B đạt giá trị lớn nhất (GTLN) thì 2n - 3 nhỏ nhất và > 0
=> 2n - 3 = 1
=> 2n = 1 + 3
=> 2n = 4
=> n = 4 : 2
=> n = 2
Vậy n = 2 thì B đạt GTLN
6 tháng 8 2020
b) B =\(\frac{4n+1}{2n-3}\) . Để B là phân số tối giản => (4n+1,2n-3) = 1. Ta lại đặt: (4n+1,2n-3) = d
=> 4n + 1\(⋮\)d, 2n - 3\(⋮\)d => 4n +1- 2(2n-3)\(⋮\)d => 7\(⋮\)d
=> Để d =1 => d\(\ne\)7 => \(\orbr{\begin{cases}4n+1\ne7k\\2n-3\ne7k'\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n\ne\frac{7k-1}{4}\\n\ne\frac{7k'+3}{2}\end{cases}\left(k,k'\right)\in}ℤ}\)
c) B =\(\frac{4n+1}{2n-3}\Rightarrow B=\frac{2\left(2n-3\right)+7}{2n-3}\Rightarrow B=2+\frac{7}{2n-3}\).
Để B đạt giá trị nhỏ nhất: \(\Rightarrow\frac{7}{2n-3}\)phải đặt giá trị âm lớn nhất => 2n-3 phải đặt giá trị âm lớn nhất.
2n - 3 <0 => n <\(\frac{3}{2}\)=> n < 1 => n = 1 là giá trị cần tìm.
Khi đó Bmin =\(2+\frac{7}{2.1-3}=2-7=-5\). Tương tự để Bmax => \(\frac{7}{2n-3}\) phải đặt giá trị dương lớn nhất.
=> 2n - 3 đặt giá trị dương nhỏ nhất .
DT
0
NM
1
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
11 tháng 6 2021
\(n+1995=a^2,n+2014=b^2\)
Trừ vế theo vế ta được:
\(b^2-a^2=59\)
\(\Leftrightarrow\left(b-a\right)\left(b+a\right)=59\)
Do \(59\)là số nguyên tố và \(b>a\)nên ta chỉ có một trường hợp:
\(\hept{\begin{cases}b-a=1\\b+a=59\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=30\\a=29\end{cases}}\)
Khi đó \(n=-1114\).
HX
1
+)Đặt A = n4+8n3+17n2+4n+6
=> A= (n2+4n)2+(n+2)2+2>0
=> A> (n2+4n)2
+)Xét với n = 0 => A= 6 (không thỏa mãn)
Xét hiệu B=(n2+4n+1)2-A
=n4+16n2+1+8n3+2n2+8n-n4-8n3-17n2-4n-6
=n2+4n-5
=(n+2)2-9
TH1:B≤0 <=> -5≤n≤1 hay n∈{-5,-4,-3,-2,-1,1} vì n khác 0(cmt)
ta có A=(n2+4n)2+(n+2)2+2= n2(n+4)2+(n+2)2+2
Vì A là số chính phương nên A≡ 0,1(mod4)và A≡0,1,4(mod 5)
Ta xét với n≡0 (mod 4)=> A≡0+4+2≡2 (mod4) => loại
n≡ 1 (mod 4)=> A≡ 25+ 9+2≡0 (mod4) => chọn
cmtt với n≡3(mod 4)=>A≡0(mod 4)=> chọn
n≡ 2(mod 4) => A≡2(mod4) => loại
Ta xét tiếp với mod 5 với n≡ 0,1,2,3,4 thì chỉ có n≡ 0,1 thỏa mãn
=> n ∈{-5,1}
Từ đây ta thay với n= -5 hay 1 thì (n+2)2-9=0
=>B=0 và A=(n2+4n+1)2
=> n∈{1,-5}
TH2: B>0=> (n2+4n)<A<(n2+4n+1)2
=> không tồn tại số chính phương A
Vậy để n4 + 8n3 + 17n2 + 4n + 6 là số chính phương thì n∈{1,-5}
Thanks