Cho các số thực a,b không âm thoả mãn: a + b = \(\dfrac{1}{2}\). Tìm max và min của biểu thức: P...
Đọc tiếp
Cho các số thực a,b không âm thoả mãn: a + b = \(\dfrac{1}{2}\). Tìm max và min của biểu thức: P = \(\dfrac{a}{1-a}+\dfrac{b}{1-b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 1 2021
\(T=\dfrac{a}{2-a}+\dfrac{b}{2-b}+\dfrac{c}{2-c}\)
- Với min: hãy chứng minh BĐT phụ sau: \(\dfrac{a}{2-a}\ge\dfrac{18a-1}{25}\)
(Lưu ý rằng a;b;c không âm nên nếu nhân cả tử và mẫu với a chẳng hạn để Cauchy-Schwarz thì sẽ dẫn tới khả năng mẫu số bằng 0 bài làm ko đủ chặt chẽ)
- Với max: chứng minh BĐT phụ sau: \(\dfrac{a}{2-a}\le a\)
23 tháng 1 2021
1) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và bất đẳng thức Schwarz:
\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{4}{a+\dfrac{a+b}{2}}=\dfrac{8}{3a+b}\ge8\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = \(\dfrac{1}{4}\).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 1 2021
2.
\(4=a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\sqrt{2}\)
Đồng thời \(\left(a+b\right)^2\ge a^2+b^2\Rightarrow a+b\ge2\)
\(M\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b+2\right)}=\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}\) (với \(x=a+b\Rightarrow2\le x\le2\sqrt{2}\) )
\(M\le\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1\)
\(M\le\dfrac{\left(2\sqrt{2}-x\right)\left(x+4-2\sqrt{2}\right)}{4\left(x+2\right)}+\sqrt{2}-1\le\sqrt{2}-1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\sqrt{2}\) hay \(a=b=\sqrt{2}\)
3. Chia 2 vế giả thiết cho \(x^2y^2\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
\(\Rightarrow0\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le4\)
\(A=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\le16\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 4 2021
\(a+b\ge a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\)
\(\Rightarrow2\ge a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\le1\)
Xét \(Q=\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}=\dfrac{a\left(b+1\right)+b\left(a+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=\dfrac{a+b+2ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\)
\(Q=\dfrac{a+b+ab+ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\le\dfrac{a+b+ab+1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=\dfrac{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=1\)
\(\Rightarrow P\le2020+1^{2021}=2021\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
MA
0
16 tháng 1 2021
\(P=\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{2a}{b}-\dfrac{2b}{a}-1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 1
Min:
\(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3ab\left(a+b\right)+3bc\left(b+c\right)+3ca\left(c+a\right)+6abc\ge a^3+b^3+c^3\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt[3]{a^3+b^3+c^3}=\sqrt[3]{3}\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{a}{7-3bc}+\dfrac{b}{7-3ca}+\dfrac{c}{7-3ab}\ge\dfrac{a}{7}+\dfrac{b}{7}+\dfrac{c}{7}=\dfrac{a+b+c}{7}\ge\dfrac{\sqrt[3]{3}}{7}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;\sqrt[3]{3}\right)\) và các hoán vị
Max:
\(\left(a^3+1+1\right)+\left(b^3+1+1\right)+\left(c^3+1+1\right)\ge3a+3b+3c\)
\(\Rightarrow a+b+c\le\dfrac{a^3+b^3+c^3+6}{3}=3\)
Khi đó:
\(7P=\dfrac{7a}{7-3bc}+\dfrac{7b}{7-3ca}+\dfrac{7c}{7-3ab}=\dfrac{a\left(7-3bc\right)+3abc}{7-3bc}+\dfrac{b\left(7-3ca\right)+3abc}{7-3ca}+\dfrac{c\left(7-3ab\right)+3abc}{7-3ab}\)
\(=a+b+c+\dfrac{3abc}{7-3bc}+\dfrac{3abc}{7-3ca}+\dfrac{3abc}{7-3ab}\)
Ta có:
\(7-3ab\ge\dfrac{7}{9}\left(a+b+c\right)^2-3ab=\dfrac{1}{9}\left[\dfrac{13}{2}\left(a-b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)+7c^2+14bc+14ca\right]\)
Do \(\dfrac{13}{2}\left(a-b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)\ge\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)\ge ab\)
\(\Rightarrow7-3ab\ge\dfrac{1}{9}\left(ab+7c^2+14bc+14ca\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{3abc}{7-3ab}\le\dfrac{27abc}{ab+7c\left(c+2a+2b\right)}\le\dfrac{27abc}{36^2}\left(\dfrac{1^2}{ab}+\dfrac{35^2}{7c\left(c+2a+2b\right)}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{3abc}{7-3ab}\le\dfrac{c}{48}+\dfrac{175}{48}.\dfrac{ab}{c+2a+2b}=\dfrac{c}{48}+\dfrac{175}{48}.\dfrac{ab}{\left(a+b+c\right)+\left(a+b\right)}\)
\(\Rightarrow\dfrac{3abc}{7-3ab}\le\dfrac{c}{48}+\dfrac{175}{48}.\dfrac{ab}{5^2}\left(\dfrac{3^2}{a+b+c}+\dfrac{2^2}{a+b}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{3abc}{7-3ab}\le\dfrac{c}{48}+\dfrac{21}{16}.\dfrac{ab}{a+b+c}+\dfrac{7}{12}.\dfrac{ab}{a+b}\le\dfrac{c}{48}+\dfrac{21}{16}.\dfrac{ab}{a+b+c}+\dfrac{7}{48}.\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b}\)
\(\Rightarrow\dfrac{3abc}{7-3ab}\le\dfrac{7a+7b+c}{48}+\dfrac{21}{16}.\dfrac{ab}{a+b+c}\)
Tương tự:
\(\dfrac{3abc}{7-3bc}\le\dfrac{a+7b+7c}{48}+\dfrac{21}{16}.\dfrac{bc}{a+b+c}\)
\(\dfrac{3abc}{7-3ca}\le\dfrac{7a+b+7c}{48}+\dfrac{21}{16}.\dfrac{ca}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow7P\le\dfrac{21}{16}\left(a+b+c\right)+\dfrac{21}{16}\left(\dfrac{ab+bc+ca}{a+b+c}\right)\le\dfrac{21}{16}\left(a+b+c\right)+\dfrac{21}{48}.\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow7P\le\dfrac{7}{4}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{a+b+c}{4}\le\dfrac{3}{4}\)
Vậy \(P_{max}=\dfrac{3}{4}\) khi \(a=b=c=1\)
MH
16 tháng 9 2023
Ta có: \(\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\)
\(\Rightarrow bc+ca=2ca\)
\(P=\dfrac{a+b}{2a-b}+\dfrac{c+b}{2c-b}=\dfrac{ac+bc}{2ca-bc}+\dfrac{ca+ab}{2ca-ab}\)
\(=\dfrac{ca+bc}{ab}+\dfrac{ca+ab}{bc}=\dfrac{c}{b}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}=\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\)
Ta có :
\(\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{a+c}\left(\text{Svácxơ}\right)\)\(\Rightarrow c+a\ge2b\)
Áp dụng bđt cô si cho 2 số dương
\(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{a}.\dfrac{a}{c}}=2\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{2b}{b}+2=4\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
*Tìm min:
\(P=\dfrac{a}{1-a}+\dfrac{b}{1-b}=\dfrac{1}{1-a}-1+\dfrac{1}{1-b}-1\)
\(\ge\dfrac{4}{\left(1-a\right)+\left(1-b\right)}-2\)
\(=\dfrac{4}{2-\dfrac{1}{2}}-2=\dfrac{2}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{4}\). Do đó minP=2/3
*Tìm max: \(a,b\ge0\)
\(P=\dfrac{a}{1-a}+\dfrac{b}{1-b}=\dfrac{a-ab+b-ab}{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}\)
\(=\dfrac{\dfrac{1}{2}-2ab}{1-\left(a+b\right)+ab}=\dfrac{\dfrac{1}{2}-2ab}{\dfrac{1}{2}+ab}=\dfrac{\dfrac{3}{2}-2\left(\dfrac{1}{2}+ab\right)}{\dfrac{1}{2}+ab}\)
\(=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{1}{2}+ab}-2\le\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{1}{2}}-2=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b\right)=\left(0;\dfrac{1}{2}\right),\left(\dfrac{1}{2};0\right)\)
Vậy maxP=1