K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 5 2023

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$x^5+x^5+x^5+1+1\geq 5\sqrt[5]{x^{15}}=5x^3$
$y^5+y^5+y^5+1+1\geq 5\sqrt[5]{y^{15}}=5y^3$

$\Rightarrow 3(x^5+y^5)+4\geq 5(x^3+y^3)\geq 10$ (do $x^3+y^3\geq 2$)

$\Leftrightarrow x^5+y^5\geq 2$
Vậy $C_{\min}=2$. Giá trị này đạt tại $x=y=1$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 7 2023

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:

$x^3+1+1\geq 3x$

$y^3+1+1\geq 3y$

$z^3+1+1\geq 3z$

$\Rightarrow x^3+y^3+z^3+6\geq 3(x+y+z)\geq 3.3=9$

$\Rightarrow A=x^3+y^3+z^3\geq 3$ 

Vậy $A_{\min}=3$. Giá trị này đạt tại $x=y=z=1$

NV
7 tháng 5 2023

\(A=\left(x^3+1+1\right)+\left(y^3+1+1\right)+\left(z^3+1+1\right)-6\)

\(A\ge3\sqrt[3]{x^3}+3\sqrt[3]{y^3}+3\sqrt[3]{z^3}-6=3\left(x+y+z\right)-6\ge3.3-6=3\)

\(A_{min}=3\) khi \(x=y=z=1\)

\(P=\frac{1}{5xy}+\frac{5}{x+2y+5}=\frac{1}{5xy}+\frac{5}{\left(x+y\right)+y+5}\ge\frac{1}{5xy}+\)\(\frac{5}{y+8}\)

\(\Leftrightarrow P\ge\frac{1}{5xy}+\frac{xy}{20}+\frac{5}{y+8}+\frac{y+8}{20}-\frac{xy+y+8}{20}\)

Lại có \(\frac{xy+y+8}{20}=\frac{y\left(x+1\right)+8}{20}\le\frac{\frac{\left(x+y+1\right)^2}{4}}{20}\le\frac{3}{5}\)

khi đó \(p\ge\left(\frac{1}{5xy}+\frac{xy}{20}\right)+\left(\frac{5}{y+8}+\frac{y+8}{20}\right)-\frac{xy+y+8}{20}\)

\(\Leftrightarrow P\ge\frac{1}{5}+1-\frac{3}{5}\)

\(\Leftrightarrow P\ge\frac{3}{5}\)

vậy \(P_{min}=\frac{3}{5}\Rightarrow x=1,y=2\)

\(B=\frac{x^3}{y+1}+\frac{y^3}{1+x}=\frac{\left(x^4+y^4\right)+\left(x^3+y^3\right)}{xy+x+y+1}\)

\(=\frac{\left(x^4+y^4\right)+\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)}{x+y+2}=\frac{\left(x^4+y^4\right)+\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-1\right)}{x+y+2}\)

Áp dụng BĐT cô si với các số dương x; y2 ; x4 ; yta được :

\(B\ge\frac{2x^2y^2+\left(x+y\right)\left(2xy-1\right)}{x+y+2}=\frac{2+\left(x+y\right)}{x+y+2}=1\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(\Leftrightarrow x=y=1\)

25 tháng 9 2019

x+xy+y+1=9

(x+1)(y+1)=9

áp dụng bđt ab<=(a+b)^2/4

->9<=(x+y+2)^2/4 -> x+y >=4

....

NV
21 tháng 4 2021

\(y\ge\dfrac{8-x}{x+1}\Rightarrow P\ge4x+\dfrac{8-x}{x+1}+3=\dfrac{4x^2+6x+11}{x+1}=\dfrac{4x^2-4x+1+10\left(x+1\right)}{x+1}=\dfrac{\left(2x-1\right)^2}{x+1}+10\ge10\)

\(P_{min}=10\) khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};5\right)\)

17 tháng 4 2017

Đáp án C.

Ta có:

G T ⇔ 5 x + 2 y + x + 2 y − 3 − x − 2 y = 5 x y − 1 − 3 1 − x y + x y − 1.

Xét hàm số

f t = 5 t + t − 3 − t ⇒ f t = 5 t ln 5 + 1 + 3 − t ln 3 > 0   ∀ t ∈ ℝ

Do đó hàm số đồng biến trên ℝ  suy ra f x + 2 y = f x y − 1 ⇔ x + 2 y = x y − 1

⇔ x = 2 y + 1 y − 1 ⇒ T = 2 y + 1 y − 1 + y . Do x > 0 ⇒ y > 1  

Ta có:  T = 2 + y + 3 y − 1 = 3 + y − 1 + 3 y − 1 ≥ 3 + 2 3 .

12 tháng 11 2019

Đáp án C.

Ta có: GT

<=> 5x+2y + x + 2y – 3–x–2y = 5xy–1 – 31–xy + xy – 1.

X é t   h à m   s ố   f t = 5 t + t - 3 - t

⇒ f t = 5 t ln 5 + 1 + 3 - t ln 3 > 0   ∀ t ∈ ℝ

Do đó hàm số đồng biến trên  ℝ suy ra

f(x+2y) = f(xy – 1) <=> x+ 2y = xy – 1

⇔ x = 2 y + 1 y - 1 ⇒ T = 2 y + 1 y - 1 + y .

Do x > 0 => y > 1.

Ta có:

T = 2 + y + 3 y - 1 = 3 + y - 1 + 3 y - 1 ≥ 3 + 2 3 .