Question

[Wolf]

Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp (O), đường kính AK và đường cao AI. Gọi F là chân đường vuông góc kẻ từ C xuống đường kính AK, S là giao điểm của AB và CF, CF cắt BK và (O) lần lượt tại L và D

a/ Chứng minh: Tứ giác ABLF và AIFC nội tiếp

b/ Chứng minh: KL.KB = KC^2

c/ Chứng minh: LD/DS = LF/FC

d/ Gọi E là chân đường vuông góc kẻ từ B đến đường kính AK, M là trung điểm BC. Chứng minh: MI = ME
Giúp mình với, mình cần gấp lắm :)

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

a. Ta thấy ngay tứ giác ABLF có hai góc đối bằng 90⁰ và tứ giác AIFC có \(\widehat{AIC}=\widehat{AFC}=90^o\) nên chúng đều là các tứ giác nội tiếp.

b. Ta thấy đường kính AK vuông góc với dây cung CD tại K nên K là trung điểm CD. Vậy ACD là tam giác cân tại A hay AK là phân giác. Từ đó suy ra cung CK = cung CK hay \(\widehat{LCK}=\widehat{KBC}\)

Vậy thì \(\Delta LCK\sim\Delta CBK\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{KL}{KC}=\frac{KC}{KB}\Rightarrow KL.KB=KC^2.\)

c. Ta thấy \(\Delta LFK\sim\Delta LBS\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{LF}{LB}=\frac{LK}{LS}\left(1\right)\)

\(\Delta LCK\sim\Delta LBD\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{LK}{LD}=\frac{LC}{LB}\left(2\right)\)

Từ (1), (2) suy ra \(\frac{LF}{LB}:\frac{LC}{LB}=\frac{LK}{LS}:\frac{LK}{LD}\Rightarrow\frac{LF}{LC}=\frac{LD}{LS}\)

\(\Rightarrow LF.LS=LC.LD\Rightarrow LF\left(SD+DL\right)=\left(LF+FC\right)LD\)

\(\Rightarrow LF.SD+LF.DL=LF.DL+FC.LD\Rightarrow LF.DS=FC.LD\)

\(=\frac{LD}{DS}=\frac{LF}{FC}\left(đpcm\right)\)